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1、高三数学 2017 秋季 第 1页 第 2 讲函数与导数 本讲模块高考考点 高考要求 了解理解掌握 导数概念及其几何意义 导数概念的实际背景A 导数的几何意义B 导数的运算 基本初等函数的导数C 导数的运算法则B 复合函数的导数B 1 导数的计算是重点 一定要全面复习 避免遗漏 logax 等不常出现的函数的导数 2 导数的分类讨论思想是难点 3 导数的几何意义是重点 基本概念要深度复习 高三数学 2017 秋季 第 2页 导数的意义和导数的计算导数的意义和导数的计算 一 一 导数与导函数的概念导数与导函数的概念 1 一般地 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是lim x 0 y x l
2、im x 0 f x0 x f x0 x 我们称 它为函数y f x 在x x0处的导数 记作或 即f x0 lim x 0 y x 2 如果函数y f x 在开区间 a b 内的每一点处都有导数 其导数值在 a b 内构成一 个新函数 这个函数称为函数y f x 在开区间内的导函数 记作f x 或y 二 二 导数的几何意义导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的 斜率k 即k 三 三 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 基本初等函数导函数 f x c c为常数 f x f x x Q Q f x f x si
3、nxf x 高三数学 2017 秋季 第 3页 f x cosxf x f x e x f x f x a x a 0 a 1 f x f x lnxf x f f x x logloga ax x a a 0 0 a a 1 1 f f x x 四 四 导数的运算法则导数的运算法则 若f x g x 存在 则有 1 f x g x 2 f x g x 3 f x g x g x 0 五 复合函数的导数 复 合 函 数y f g x 的 导 数 和 函 数y f u u g x 的 导 数 间 的 关 系 为yx 即y对x的导数等于的导数与的导数的乘 积 例 1 2014 海淀区校级模拟 设
4、f x 在 x 处可导 则 吠 吠 等于 A 2f x B f x C f x D 4f x 练习 1 2014 秋 大兴区期中 一质点的运动方程是 s 5 3t2 则在一段时间 1 1 t 内相应的平均速度为 A 3 t 6B 3 t 6 C 3 t 6D 3 t 6 高三数学 2017 秋季 第 4页 例 2 2017 春 涵江区校级月考 设函数 f x log2x 则 f x 等于 A h B h C D h 练习 1 2017 春 西城区校级期中 已知 f x 1 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x n 则 f 0 A nB n 1C h h 吠 D n n 1 导数在函数中的应用
5、导数在函数中的应用 一 一 函数单调性的判断与证明函数单调性的判断与证明 1 定义 一般地 设函数 f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意 两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说函数 f x 在区间 D 上 是 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说函数 f x 在区间D上是 若函数 f x 在区间 D 上是增函数或减函数 则称函数 f x 在这一区间具有 严格 的 单调性 区间 D 叫做 y f x 的单调区间 2 证明函数的单调性用定义法的步骤 3 利用函数的导数证明函数单调性的步骤 第一步 求函数的定义域 若题
6、设中有对数函数一定先求定义域 若题设中有三次函数 指 数函数可不考虑定义域 高三数学 2017 秋季 第 5页 第二步 求函数 f x 的导数 f x 并令 f x 0 求其根 第三步 利用 f x 0 的根和不可导点的 x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开 区间 并列表 第四步 由 f x 在小开区间内的正 负值判断 f x 在小开区间内的单调性 求极值 最值 第五步 将不等式恒成立问题转化为 f x max a 或 f x min a 解不等式求参数的取 值范围 第六步 明确规范地表述结论 二 二 函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系 1 关系描述 2 利用导数求解多项式
7、函数单调性的一般步骤 三 函数的极值 1 一般地 求函数 y f x 的极值的方法 解方程 f x 0 当 f x0 0 时 如果在 x0附近的左侧 右侧 那么 f x0 是极大值 如果在 x0附近的左侧 右侧 那么 f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求 f x 求方程的根 考察 f x 在方程的根附近的左右两侧导数值的符号 如果左正右负 那么 f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么 f x 在这个根处取得 四 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数 f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数 f x 在 a b 上单调递增 则为函数的最小值 为函数的最大值
8、若函数 f x 在 a b 上单调递减 则为函数的最大值 为函数的最小值 3 设函数 f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求 f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 如下 求函数 y f x 在 a b 内的 高三数学 2017 秋季 第 6页 将函数 y f x 的各与处的函数值 f a f b 比较 其中最大的一个为最大 值 最小的一个为最小值 例 3 2016 春 海淀区校级月考 已知函数 f x x3 ax 在 1 上是增函数 则 a 的最小值是 A 3B 2C 2D 3 练习 1 2017 秋 通州区期末 已知函数 f x h a R 当 a 0 时 求函数 f x
9、 的单调区间 对任意的 x 1 f x 恒成立 求 a 的取值范围 例 4 2017 北京 已知函数 f x excosx x 1 求曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数 f x 在区间 0 上的最大值和最小值 高三数学 2017 秋季 第 7页 练习 1 2017 春 西城区期末 若函数 f x ax3 ax2 x 在区间 1 0 上恰有一个极 值点 则 a 的取值范围是 导数的综合应用导数的综合应用 一 一 证明不等式的基本方法 证明不等式的基本方法 1 比较法 1 理论依据 a b a b 0 a b a b 0 证明步骤 作差 变形 判断符号 得出结论 注 作差
10、比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数 或式子 与 0 的大 小关系 2 理论依据 b 0 1 a b b 0 1 a b 证明步骤 作商 变形 判断与 1 的大小关系 得出结论 高三数学 2017 秋季 第 8页 2 1 定义 从已知条件出发 利用定义 公理 定理 性质等 经过一系列的推理 论证 而得到命题成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又叫做推证法或由因导果法 3 1 定义 从要证的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至所需条件为已知条件 或一个明显成立的事实 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 4 1 定义 证明不等式
11、时 通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小 简化不等式 从 而达到证明的目的 这种证明方法称为放缩法 2 思路 分析证明式的形式特点 适当放大或缩小是证题关键 常用的放缩技巧有 n n n n n n n n n 右边当 n 时成立 k k k k k k k k k 例 5 2017 秋 昌平区期末 已知函数 f x ax ln x 1 a R I 当 a 2 时 求曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 II 求函数 f x 在区间 0 e 1 上的最小值 高三数学 2017 秋季 第 9页 练习 1 已知函数 2 lnfxxx 函数 2 g xfxxax 0a 若 0 xe 时 g x的最小值是 3 求实数a的值 e是自然对数的底数 例 6 2017 秋 房山区期末 已知函数 f x xlnx mx2 当 m 1 时 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 若 x 0 都有 f x 0 成立 求 m 的取值范围 当 m 0 时 设 g x 吠 求 g x 在区间 1 2 上的最大值 高三数学 2017 秋季 第 10页 练习 1 2017 丰台区一模 已知函数 吠 h 吠 吠 求 f x 的单调区间 对任意 都有 xln kx kx 1 mx 求 m 的取值范围 高三数学 2017 秋季 第 11页
