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1、第2讲 方程与函数1.掌握二元二次方程的基本解法，理解代入消元法在方程中的应用。2.理解韦达定理的推导过程，熟练运用韦达定理解决根与系数之间的关系。3.学会利用函数图像来解决复杂方程根的问题，理解函数图像变化的动态过程。1.判断并计算二元二次方程解的个数是难点。2.韦达定理的记忆及灵活运用是重点和难点。3.如何利用图像来解决方程根的问题是难点。二元二次方程1、定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫做二元二次方程。如：，等。2、解法：一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解例1. 在方程2x23x=4，xy=1，x24y2=9，y=
2、1x 中，是二元二次方程的共有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B【解析】2x23x=4是一元二次方程；xy=1，x24y2=9是二元二次方程； y=1x 是分式方程故是二元二次方程的只有：xy=1，x24y2=9故选B练习1. 在方程组、中，是二元二次方程组的共有个.【答案】2【解析】是二元二次方程组。中含有未知数的项的最高次数是3。中方程不是整式方程。方程组中含有3个未知数。判断时需要注意以下问题：（1）二元二次方程是整式方程。（2）二元二次方程含有两个未知数。（3）含有未知数的项的最高次数是2。例2. 阅读：解方程组x2-3xy+2y2=0x2+y2=10 （1）（2）解：由得
3、（xy）（x2y）=0，xy=0，或x2y=0（第一步）因此，原方程组化为两个方程组x-y=0x2+y2=10 ，x-2y=0x2+y2=10 ，分别解这两个方程组，得原方程组的解为x1=5y1=5 ，x2=-5y2=-5，x3=22y3=2，x4=-22y4=-2填空：第一步中，运用 法将方程化为两个二元一次方程，达到了 的目的由第一步到第二步，将原方程组化为两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，体现了 的数学思想第二步中，两个方程组都是运用 法达到 的目的，从而使方程组得以求解【答案】因式分解，降次，代入，消元【解析】第一步中，运用了因式分解的方法，达到了降次的目的，第二步
4、，两个方程运用代入方法达到了消元的目的，故答案为：因式分解，降次，代入，消元练习1. 解方程组【答案】 【解析】变形得y=2x-1，把代入得x2-4（2x-1）2+x+3（2x-1）=1，15x2-23x+8=0，（15x-8）（x-1）=0，x1=，x2=1把x1，x2代入得y1=，y2=1.方程组的解为 解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程。韦达定理及其应用 如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理
5、例3. 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值【答案】17【解析】设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1x22(m2)，x1x2m24x12x22x1x221，(x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时，方程为x230x2930，302412930，不合题意，舍去综上，m17练习1. 已知两个数的和为4，积为12，求这两个数【答案】2和6【解析】由韦达定理可知，这两个数是方程x24x120的两个
6、根解这个方程，得x12，x26所以，这两个数是2和6 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1x2p，x1x2q，即p(x1x2)，qx1x2.例4. 对于一元二次方程ax2+bx+c（a0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么x1+x2=ba ，x1x2=ca ，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（15401603）发现的，因为，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这种个応有时可以使解题更为简单例：若x1、x2是方程x2 + 2x- 2007=0的两个根，不解方程，求x12+x22的值解：由题意，根据根与系数的关
7、系得：x1+x2=2，x1x2=2007x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（2）22（2007）=4+4014=4018根据上面材料，解答下列问题：（1）已知x1，x2是方程2x27x+4=0的两根，则x1+x2= ，x1x2= （2）设x1，x2是方程2x26x+3=0的两个根，求下列各式的值：x12x2+x1x22x1x2（3）关于x的方程x2（k+1）x+ 14 k2+1=0的两实数根x1，x2满足|x1|=x2，求k的值【答案】（1）72，2；（2）92，3 ；（3）32【解析】（1）x1，x2是方程2x27x+4=0的两根，则x1+x2=72，x1x2=2，故答案为：72；
8、2；（2）x1，x2是方程2x26x+3=0的两个根，则x1+x2=3，x1x2=32，x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）= 92 ；x1x2= （x1-x2）2= x1+x22-4x1x2 =3；（3）方程x2（k+1）x+14 k2+1=0的两实数根x1，x2，x1+x2=k+1，x1x2=14 k2+1，=（k+1）24（14 k2+1）=2k3，2k30，解得，k 32，当x10时，x1=x2，即（k+1）24（14 k2+1）=0，解得，k= 32；当x10时，x1+x2=0，即k+1=0，解得，k=1，1 32，方程无实根k的值为 32练习1. 阅读材料：如果x1、x2
9、是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，那么，x1+x2=ba，x1x2= ca 这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题：已知m与n是方程2x26x+3=0的两根.（1）填空：m+n= ，mn= ；（2）计算 1m+1n 的值【答案】（1）3，32；（2）2【解析】（1）答案为3，32（2）1m+1n=m+nmn=332=2 一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则，| x1x2| 于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2b
10、xc0（a0），则|x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论利用图像求复杂方程的根 数形结合：在研究数学问题的过程中，注意把数与形结合起来考察。或者把几何图形问题转化为数量关系问题，运用代数、三角知识进行讨论；或者把数量关系问题转化为图形问题，借助于几何知识加以解决。简单的说，即“以形助数”和“以数辅形”两个方面，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或是应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。例5.已知函数f（x）=x2+2x-3，-x2-2x+13， x2x2，若关于x的方程f（x）m=0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是(
11、 )A0，4 B（0，4） C（4，5） D（0，5）【答案】B【解析】作出函数的图象，如图所示，关于x的方程f（x）m=0恰有五个不相等的实数解，则y=f（x）与y=m有五个不同的交点，0m4，故选B练习1.已知函数f（x）= x+2，x0x2-3x+2，x0，函数g（x）=f（x）a恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）A（，14 B（14，2） C2，+） D0，2）【答案】B【解析】函数g（x）=f（x）a恰有三个不同的零点，即y=f（x）和y=a恰有三个不同的交点，画出函数f（x）的图象，如图所示：x0时，f（x）的最小值是14，结合图象，14a2，故选：B 利用数形结合方法求解复杂方程的根的个数时，先将已知函数分解成多个熟悉的函数，画出图像求这些函数的交点，如果有参数，需要考虑参数对于函数的影响（如平移、旋转）。1、二元二次方程的解题关键在，将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式，再将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程.2、熟练运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；利用韦达定理求解一些代数式的值3、利用数形结合的方法，将方程分解成两个已知函数，利用函数的交点问题来达到求解根的个数的目的.
