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1、演练方阵第4讲 三角形与四边形梅涅劳斯定理类型一:梅涅劳斯定理考点说明：梅涅劳斯定理来源于相似【易】1. 如图，在ABC中，DEBC，EFAB，求证：ADEEFC【答案】证明：DEBC，DEFC，AED=C又EFAB，EFAD，A=FECADEEFC【解析】根据平行线的性质可知AED=C，A=FEC，根据相似三角形的判定定理可知ADEEFC【中】2. 如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于F，试说明：ABFEAD【答案】证明：矩形ABCD中，ABCD，D=90，（2分）BAF=AED（4分）BFAE，AFB=90AFB=D（5分）ABFEAD（6分）【解析】考查相似三角形的判定定
2、理，关键是找准对应的角【难】3. 已知过顶点的直线，与边及中线分别交于点和，求证：.【答案】证明：直线截，由梅涅劳斯定理，得：，又，则.【解析】梅涅劳斯定理【难】4.已知过重心的直线分别交边、及延长线于点、，求证：.【答案】证明：连接并延长交于，则截，由梅氏定理得，；同理：，即.【解析】梅涅劳斯定理【难】5.如图，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，PBQ与ABC相似【答案】设经过t秒后，PBQ与ABC相似，根据路程公式可得AP=2t，B
3、Q=4t，BP=102t，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可解：设经过秒后t秒后，PBQ与ABC相似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=102t，当PBQABC时，有BP：AB=BQ：BC，即（102t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）当QBPABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（102t）：20，解得t=1所以，经过2.5s或1s时，PBQ与ABC相似（10分）解法二：设ts后，PBQ与ABC相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=102t分两种情况：（1）当BP与AB对应时，有=，即=，解得t=2.5s（2）当BP与BC对应时，有=，即=
4、，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与ABC相似【解析】本题综合了路程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来类型二:梅涅劳斯定理的应用与拓展考点说明：梅涅劳斯定理的逆定理一般是竞赛题目。这里我们重点分析比例问题。【中】1.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的
5、值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）设经过x秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（62x）x=36，即x23x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似，由矩形ABCD，可得CDA=MAN=90，因此有或（5分）即，或（6分）解，得t=；解，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似（8分）【解析】（1）关于动点问题，可设
6、时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在【难】2.如图，在梯形ABCD中，若ABDC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明【答案】解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：，（2分）其中有两组（，）是相似
7、的选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=（4分）证明：（2）选择、证明在AOB与COD中，ABCD，CDB=DBA，DCA=CAB，AOBCOD（8分）选择、证明四边形ABCD是等腰梯形，DAB=CBA，在DAB与CBA中有AD=BC，DAB=CAB，AB=AB，DABCBA，（6分）ADO=BCO又DOA=COB，DOACOB（8分）【解析】（1）采用列举法，列举出所有可能出现的情况，再找出相似三角形即可求得；与，与相似；（2）利用相似三角形的判定定理即可证得【难】3.如图ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD于E，连接AE（1）写出图中所有相等的线
8、段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求BEC与BEA的面积之比【答案】解：（1）AD=DE，AE=CECEBD，BDC=60，在RtCED中，ECD=30CD=2EDCD=2DA，AD=DE，DAE=DEA=30=ECDAE=CE（2）图中有三角形相似，ADEAEC；CAE=CAE，ADE=AEC，ADEAEC；（3）作AFBD的延长线于F，设AD=DE=x，在RtCED中，可得CE=，故AE=ECD=30在RtAEF中，AE=，AED=DAE=30，sinAEF=，AF=AEsinAEF=【解析】（1）根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜
9、边的一半，可知CD=2ED，则可写出相等的线段；（2）两角对应相等的两个三角形相似则可判断ADEAEC；（3）要求BEC与BEA的面积之比，从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边，若求得高之比可知面积之比，由此需作BEA的边BE边上的高即可求解【难】4.如图在ABC中，C=90，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与CBA相似？【答案】解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（82x）cm，CP=xcm，（1分）C=C=90，当或
10、时，两三角形相似（3分）（1）当时，x=；（4分）（2）当时，x=（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似（6分）【解析】此题要根据相似三角形的性质设出未知数，即经过x秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出分式方程求解【难】5.如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似【答案】解：以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似，所以ABCPA
11、Q或ABCQAP，当ABCPAQ时，所以，解得：t=6；当ABCQAP时，所以，解得：t=；当AQPBAC时，=，即=，所以t=；当AQPBCA时，=，即=，所以t=30（舍去）故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似【解析】若以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似，有四种情况：APQBAC，此时得AQ：BC=AP：AB；APQBCA，此时得AQ：AB=AP：BC；AQPBAC，此时得AQ：BA=AP：BC；AQPBCA，此时得AQ：BC=AP：BA可根据上述四种情况所得到的不同的对应成比例线段求出t的值塞瓦定理类型一:塞瓦定理考点说明：塞瓦定理是相似的综合运用【难】1.
12、设是内任意一点，、分别交对边于、，则.【答案】证明1：（用梅涅劳斯定理）被直线所截，有.被直线所截，有.，相除即得.证明2：（面积证法）.同理，相乘即得.证明3：（物体重心法）在、处各放一重物，让其质量分别为，使其重心正好在处，则、分别为、的重心，有，相乘即得.证明4：利用相似三角形过作分别交、与、，将上面四个比例式相乘，得，即【解析】定理的4种不同的证明方法【难】2.若的的外角平分线交边延长线于，的平分线交边于，的平分线交边于，则、三点共线.【答案】证明：由三角形内、外角平分线定理知： ， 则， 故、三点共线.【解析】利用梅氏定理证明3点共线问题。类型二:塞瓦定理的应用考点说明：塞瓦定理的逆
13、定理及其应用来源于相似的比例问题【中】1.如图，在ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论相似三角形的判定；菱形的判定。菁优网版权所有综合题。【答案】解：（1）ABMP，QMAC，四边形APMQ是平行四边形，B=PMC，C=QMBAB=AC，B=C，PMC=QMBBQ=QM，PM=PC四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a（2）PMAB，PCMACB，QMAC，BMQBCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，点M是BC的中点，ABMP，QMAC，QM，PM是三角形ABC的中位线AB=AC，QM=PM=AB=AC又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，平行四边形APMQ是菱形【解析】（1）根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等，从而不难求得其周长；（2）因为B=C=PMC=QMB，所以
