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1、第22讲 复数1理解复数的概念，理解复数相等的充要条件2了解复数的代数表示法及其几何意义3能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义1复数的定义、分类，复数相等、共轭等基本概念(重点)2复数的加减乘除运算(重点、难点)3复数的几何意义、复数的实数化问题(重点、难点)复数的概念1定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部(i为虚数单位)2分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b03复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)4共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)5模
2、：向量的模叫做复数zabi的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)例1.设i是虚数单位若复数za(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B1 C1 D3【答案】D【解析】zaa(3i)(a3)i，由aR，且za为纯虚数知a3.练习1.若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1 B0 C1 D1或1【答案】A【解析】由复数z为纯虚数，得解得x1，故选A.练习2.若复数za(aR)，|z|，求a的值【答案】a0或a6【解析】若|z|，则(a3)2110，|a3|3，a0或a6.解决复数概念问题的方法及注意事项1复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应
3、该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可2解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部例2.若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，则“m1”是“z1z2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件练习1. (2014浙江)已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A充分不必要条 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当ab1时，(abi)2(1i
4、)22i；当(abi)22i时，得解得ab1或ab1，所以“ab1”是“(abi)22i”的充分不必要条件复数与命题的综合应用，应根据命题条件的定义进行充分论证，切忌盲目选择“充要条件”.例3.(2015天津)i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_【答案】2【解析】(12i)(ai)a2(12a)i，由已知，得a20,12a0，a2.练习1.(2014江苏)已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实部为_【答案】21【解析】因为z(52i)22520i(2i)22520i42120i，所以z的实部为21.复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一
5、般化为abi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答复数的运算1运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dRz1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i .z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i .i(cdi0)2几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.例4.(2015湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()Ai Bi C1 D1【答案】A【解析】方法一:i607i41513i3i，其共轭复数为i.故选A.方法二:i607i，其共轭复数为i.故选A.练习1.(2015北京)复
6、数i(2i)等于()A12i B12i C12i D12i【答案】A【解析】i(2i)2ii212i.练习2.(2015安徽)设i是虚数单位，则复数(1i)(12i)等于()A33i B13i C3I D1i【答案】C【解析】(1i)(12i)12ii2i21i23i，故选C.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可例5.(2015湖南) 已知1i(i为虚数单位)，则复数z等于()A1i B1i C1i D1i【答案】D【解析】由1i，知z1i，故选D.练习1.()6_.【答案】1i【解析】原式6i61i.复数的除法的关键是分
7、子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.例6.(2014安徽)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z1i，则i等于()A2 B2i C2 D2i【答案】C【解析】z1i，1i，1i，i1ii(1i)(1i)(1i)2.故选C.练习1.若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 B C4 D.【答案】D【解析】设zabi，故(34i)(abi)3a3bi4ai4b|43i|，所以解得b.练习2. (2015山东)若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z等于()A1i B1i C1i D1i【答案】A【解析】i，i(1i)ii21i，z1i.练习3. (1)_.
8、(2)_.【答案】(1)1(2)1i【解析】(1)1.(2)原式iii1 008ii42521i.复数的综合运算分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的复数的综合应用复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一对应关系例7.如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，32i，24i，试求：(1)、所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)B点对应的复数【答案】见解析【解析】(1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.
9、(3)，所表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.练习1.ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点为ABC的()A内心 B垂心 C重心 D外心【答案】D【解析】由几何意义知，复数z对应的点到ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是ABC的外心练习2.如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AA BB CC DD【答案】B【解析】表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，B点表示.选B.练习3.已知z是复数，z2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的
10、点在第一象限，求实数a的取值范围【答案】a的取值范围是(2,6)【解析】设zxyi(x、yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由题意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知解得2a6，实数a的取值范围是(2,6)因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可例8.已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.【答案】见解析【解析】设xabi (a，bR)，则yabi，xy2a，xya2b2，代入原式，得(2a)2
11、3(a2b2)i46i，根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或练习1. (2015课标全国)已知复数z满足(z1)i1i，则z等于()A2i B2i C2i D2i【答案】C【解析】由(z1)i1i，两边同乘以i，则有z11i，所以z2i.练习2.已知(12i)43i，则z_.【答案】2i【解析】2i，z2i.1复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法2本题求解的关键是先把x、y用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解这是常用的数学方法3本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解方法与技巧1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程2复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识3在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合失误与防范1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2两个虚数不能比较大小3注意复数的虚部是指在abi(a，bR)中的实数b，即虚部是一个实数
