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1、第2讲 余弦定理和余弦定理的应用1.熟练掌握余弦定理的推导和公式2.灵活运用正弦定理和余弦定理的解决三角形综合题目3. 运用正弦定理和余弦定理的解决三角形的应用综合题1.余弦定理的证明和公式的简单应用是基础2.运用余弦定理和正弦定理是本节课的重点3.解三角形中正余弦定理的灵活运用是难点已知两边和夹角求另一边.yi余弦定理推导及应用已知三边求内角正、余弦定理结合.yi应用正弦余弦定理解三角形余弦定理余弦定理与三角形面积结合.yi解三角形应用题与平面几何结合.yi与空间图形的结合.yi余弦定理的推导思考：如何将以上实际问题转化为数学问题？（提问学生回答）ABC从向量的角度进行分析。 （图1）如图1
2、，设，那么由三角形法则有, 同理可以证明： , .1、 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：2、余弦定理的推理： , ,.例1. （“创设情境”中的问题）在ABC中，已知a=30,b=80,C=60,求边c.【解析】：根据余弦定理，得 = =900+6400-2400 =4900 练习1.在ABC中，已知，B=45，求b及A【解析】：=cos45=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即练习2.(1) 在 中，角所对的边长分别为，若，则（ ）A. 2 B.
3、 4 C. 5 D. 6.(2) 在中， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C；A.【解析】(1)由余弦定理可得： .即.解得： .故选C. (2) 故选：A定理指明了三边长与其中一角的具体关系，并发现a与A，b与B，C与c之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现.应用余弦定理，可解决“已知三角形任意两边及其夹角求第三边”的问题。教师引导学生观察余弦定理的表达式，式子中有几个量？从方程的角度看，已知其中三个量，可以求出第四个量.例2. 在中，角角的对边分别为，若且，求.【解析】由及正弦定理得，代入得 ，所以.在中，由余弦定理的推论得 .又，所以. 练习1. 中，若， ，
4、则（ ）A. 是等边三角形 B. 是等腰三角形，但不是等边三角形C. 是等腰直角三角形 D. 是直角三角形，但不是等腰三角形【答案】A【解析】中，.再由，可得：，故是等边三角形.故选：A三角形的边角互化，注意分析题意，根据题目条件恰当选取，一般情况下，有平方关系时用余弦定理，没有平方关系用正弦定理.正弦定理与余弦定理与三角形面积的综合1、三角形的面积公式： 例3. 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2c2)3a22bc.(1)若sinBcosC，求tanC的大小；(2)若a2，ABC的面积S，且bc，求b，c.【答案】(1) ;(2) .试题分析：(1)根据已知条件及余
5、弦定理可求得的值,再由同角三角函数基本关系式可求得的值. 因为,所以,由两角和的正弦公式可将其化简变形,可求得与的关系式,从而可得.(2)根据余弦定理和三角形面积均可得的关系式.从而可解得的值.【解析】： ，sinA=223.(1) ， ， .(2) ， ， ， ，由余弦定理可得，, ，联立可得.练习1. 在中， 分别为内角的对边，且满足， .（1）求的大小；（2）若， ，求的面积.【答案】（1）（2）.【解析】（1），由正弦定理化简得： ， ，为锐角，则.（2）， ， ，由余弦定理得： ，即，整理得： ，计算得出： （舍去）或，则.练习2. 在中， 是角所对的边， (1)求角；(2)若，且的
6、面积是，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】(1)在中， ，那么由，可得， ，在中， (2)由(1)知，且，得，由余弦定理得，那么， ，则，可得解与三角形面积有关问题，多为边和角的求值及求面积或已知面积解三角形问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，一般情况下余弦定理选取和面积公式的选取以角为准.第三步：求结果.解三角形中的范围最值问题例4. 在中，角所对的边分别为.已知点在直
7、线上.(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值.【答案】（1） （2） 试题分析：（1）先将点坐标代入直线方程得边角关系，再根据正弦定理将边角关系转化为边的关系，最后利用余弦定理求角的大小（2）由余弦定理以及基本不等式求最大值，再根据三角形面积公式得面积最大值【解析】：（1）因为点在直线上，所以,由正弦定理得,即 （2）因为，所以，当且仅当 时取等号所以 ，即面积的最大值为 .练习1. 在锐角ABC中，已知ABC，则cosB的取值范围为（ ）A(0,22). B.12,22). C.(01). D.(22,1)【答案】A.【解析】在锐角三角形ABC中，ABC，A+B+C=，A+2B4，又B2
8、，4B2 0cosB22. 本题选择A选项.练习2. 在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C.【解析】因为，所以由余弦定理可知， cosC=C22ab=12a2+b22ab12故选C.三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.解三角形应用题例5.
9、在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向的海面P处，且，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【答案】12小时后该城市开始受到台风侵袭【解析】：设在t时刻台风中心位于点Q，此时|OP|=300，|PQ|=20t，台风侵袭范围的圆形区域半径为，由，可知，则，在中，由余弦定理，得，若城市O受到台风的侵袭，则有，即，整理，得，解得，所以，12小时后该城市开始受到台风侵袭.练习1. 如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在处观测， 分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40
10、海里至处，观测在处的正北方向， 在处的北偏西方向，则两处岛屿间的距离为（ ）BADCA. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 40海里【答案】A【解析】在中， ，所以，由正弦定理可得： ，解得，在中， ，所以，在中，由余弦定理可得：，解得.练习2.设甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设甲楼为DA，乙楼为BC，如图，在， 在ABC中，设AC=BC=x，由余弦定理得： ，即1600=x2+x2+x2解得x=4033则甲、乙两楼的高分别是203m,4033m 一般的，在平面几何中的解三角形，要掌
11、握条件中的已知量，能够准确找到已知条件多的三角形作为切入点，同时灵活应用图形中的共同直线进行三角形之间的相互转化.例6. 如图,小明同学在山顶A处观测到,一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B、C两点的俯角分别为,且,若山高,汽车从B点到C点历时,则这里汽车的速度为_.【答案】【解析】由题意得: , ;在三角形中,由余弦定理得=;所以车的速度.练习1.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为_平方千米.【答案】21【解析】设 的对应边边长分别 里， 里， 里 故正确答案为 .对于考查正余弦定理和三角形的面积公式，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.解决题目的关键问题是要在充分理解题意的基础上建立解三角问题模型，再利用正弦定理、余弦定理和三角面积公式进行运算求解，还得注意面积单位的换算.1. 余弦定理公式要熟练运用；2. 注意边角互化的分析；3. 应用问题建立三角形模型.
