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1、第10讲 特征向量1.掌握矩阵的特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义. 2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形). 3.利用矩阵A的特征值、特征向量给出An的简单的表示,并能用它来解决问题.4.会利用特征向量解决简单的实际问题.1. 特征值与特征向量的定义是基础.2. 特征值与特征向量的计算难点.3. 特征向量解决实际问题是重点._特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得 ，那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量.2.特征多项式的定义设A是一个二阶矩阵，R，我们把
2、行列式f()2(ad)adbc称为A的特征多项式.3.从几何意义上解释:记矩阵A对应的线性变换为:xy=Axy,则是矩阵A的属于特征值的一个特征向量,即=,由于向量与是共线的,因此,等式=表示线性变换把特征向量变成了共线的向量.当0时,所得的向量与特征向量的 ;当0时,所得的向量与特征向量的 ;当=0时,所得的向量为 .4.特征向量的性质设是矩阵A的属于特征值的一个特征向量,则对任意的非零常数k,k也是矩阵A的属于特征值的 .属于矩阵的不同特征值的特征向量 .例1.从几何直观上,求下列线性变换的特征值和特征向量.(1)关于y轴的反射变换:xy=-1001xy;(2)伸缩变换:xy=20012x
3、y.练习1.特征值与特征向量的几何意义如何？练习 2.特征值与特征向量有怎样的对应关系？_特征值与特征向量的计算1.特征值与特征向量的计算设是二阶矩阵A的特征值，为的特征向量，求与的步骤为：第一步：令矩阵A的特征多项式f()2(ad)adbc0，求出的值.第二步：将的值代入二元一次方程组得到一组非零解，于是非零向量即为矩阵A的属于特征值的一个特征向量.2.An(nN*)的简单表示(1)设二阶矩阵A，是矩阵A的属于特征值的任意一个特征向量，则An (nN*).(2) 设1，2是二阶矩阵A的两个不同特征值，是矩阵A的分别属于特征值1，2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量，设t1t2(其中t1，
4、t2为实数)，则An (nN*).例2.矩阵M=3 -1-24的特征值和特征向量为()A.1=2,1=1-2,2=5,2=11B.1=2,1=-11,2=5,2=12C.1=2,1=11,2=5,2=1-2D.1=2,1=-1-1,2=5,2=-1-2练习1.矩阵A的特征值为1,2,则矩阵A可以为()A.1322 B.1002C.-100-2 D.0120.练习2.5.求矩阵A=1243的特征值和属于每个特征值的一个特征向量.例3.已知矩阵A有特征值1=8及对应的特征向量1=11,并有特征值2=2及对应的特征向量2=1-2,求矩阵A.练习1.矩阵A=32mn的特征值为-1,2,则m,n的值为(
5、)A.1,-1B.-1,1C.-2,-2D.-2,2_特征向量的实际应用1.An的简单表示设A是一个二阶矩阵,是矩阵A的属于特征值的任意一个特征向量,则 = (nN*).2.性质设1,2是二阶矩阵A的两个不同特征值,1,2是矩阵A的分别属于特征值1,2的特征向量,对于任意的非零平面向量,设=t11+t22(其中t1,t2为实数),则对任意的正整数n,有 . 由于1和2是矩阵A的分别属于特征值1,2的特征向量,所以1与2不共线,由平面向量的基本定理,知平面内的任意一个非零向量都可以用1和2表示出来,即存在两个实数t1,t2使=t11+t22,也就是可以用特征向量表示出来.例4.已知矩阵A的一个特
6、征值为3,对应于特征值3的特征向量为=-13,则A100等于()A.3100-3101 B.3100-3100 C.-31003100 D.-31003101练习1.已知A=3214,=512,则A10=.例5.当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设: (1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%; (2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年增加兔子数的0.1倍; (3)第n年时,兔子数量用Rn表示,狐狸数量用Fn表示; (4)初始时刻(即第0年),兔子数量有R0=100只,狐狸数量有F0=30只.这样,兔子和狐狸的生态模型为试用矩阵知识求出Rn,Fn关于n的关系式,并讨论当n越来越大时,兔子和狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态? 练习1.自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响,比如出生率、死亡率、资源的可利用性以及竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等.因此它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系.但是如果没有任何限制,种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群X,Y随时间段变化的数量分别为an,bn,并有关系式an+1=3an+bn,bn+1=2an+2bn,其中a1=1,b1=7,试分析10个时间段后这两个种群的数量变化趋势._
