《知名机构高中讲义 [20171020][必修五 第5讲 等差数列的前n项和公式]讲义教师版 (2).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知名机构高中讲义 [20171020][必修五 第5讲 等差数列的前n项和公式]讲义教师版 (2).pdf（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高一数学 2017 秋季 第 1页 第 5 讲等差数列的前 n 项和公式 1 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的 与前n项和有关的问题 2 会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究 Sn的最值 3 通过公式的推导和公式的运用 使学生体会从特殊到一般 再从一般到特殊的思维规律 初步形成认识问题 解决问题的一般思路和方法 通过公式推导的过程教学 对学生进行思 维灵活性与广阔性的训练 发展学生的思维水平 1 熟练掌握等差数列的求和公式 灵活应用求和公式解决问题 2 熟练利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究 Sn的最值 高一数学 2017 秋季 第 2
2、页 等差数列前 n 项和的公式及其应用 一 等差数列 an 的前n项和公式的两种不同形式 当已知首项 1 a和末项 n a时 用 n s 2 1n aan 当已知首项 1 a和公差d时 用 n s 2 1 1 dnn na 二 等差数列的前 n 项和公式的推导 1 1 等差数列的前n项和公式 1 2 1n n aan S 证明 nnn aaaaaS 1321 1221 aaaaaS nnnn 2 23121nnnnnn aaaaaaaaS 23121nnn aaaaaa 2 1nn aanS 由此得 2 1n n aan S 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2 等差数列的前n项
3、和公式 2 2 1 1 dnn naSn 用上述公式要求 n S必须具备三个条件 n aan 1 但dnaan 1 1 代入公式 1 即得 2 1 1 dnn naSn 此公式要求 n S必须已知三个条件 dan 1 例 1 已知 an 为等差数列 Sn为其前n项和 若a1 6 a3 a5 0 则S6 答案 6 解析 设等差数列 an 的公差为d 因为a3 a5 0 所以 6 2d 6 4d 0 解得d 2 所以S6 6 6 6 5 2 2 36 30 6 练习 1 设Sn是等差数列 an 的前n项和 已知a2 3 a6 11 则S7 高一数学 2017 秋季 第 3页 A 13B 35C 4
4、9D 63 答案 C 解析 设等差数列 an 的公差为d 则 a1 d 3 a1 5d 11 解得 a1 1 d 2 所以S7 7 1 7 6 2 2 49 针对等差数列的求和公式一定要理解并能灵活运用 例 2 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前 11 项和S11 答案 88 解析 因为数列 an 为等差数列 所以S11 2 aa11 111 根据等差数列的性质 若p q m n 则ap aq am an 得a1 a11 a4 a8 16 所以S11 11 16 2 88 练习 1 已知 n 是公差为 1 的等差数列 Sn为 n 的前 n 项和 若 S8 4S4 则 10
5、A 17 2 B 19 2 C 10D 12 答案 B 解析 由 S8 4S4 公差 d 1 得 8 1 8 7 2 1 4 4 1 4 3 2 1 解得 1 1 2 10 1 9d 19 2 练习 2 等差数列 an 中 a2 a7 a12 24 则S13 答案 104 解析 因为a1 a13 a2 a12 2a7 又a2 a7 a12 24 所以a7 8 所以S13 13 a1 a13 2 13 8 104 a1 d n称为等差数列的三个基本量 an和Sn都可以用这三个基本量来表示 五个量 a1 d n an Sn中可知三求二 即等差数列的通项公式及前n项和公式中 知三求二 的 问题 一般
6、是通过通项公式和前n项和公式联立方程 组 来求解 这种方法是解决数列运算 高一数学 2017 秋季 第 4页 的基本方法 在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用 等差数列的前 n 项和的性质及其应用 1 等差数列的前 m 项和为数列为 m s则Sm S2m Sm S3m S2m 成等差数列 公差为m 2d 2 若 n a是等差数列 则 n sn 也成等差数列 其首项与 n a的首项相同 公差是 n a的 公差的 2 1 3 两个等差数列 n a n b的前 n 项和 n S n T之间的关系为 1 n2 1 n2 n n S b a T 4 若S奇表示奇数项的和 S偶表示偶数项
7、的和 公差为d 当项数为偶数 2n时 S偶 S奇 nd S 奇 S偶 an an 1 当项数为奇数 2n 1 时 S奇 S偶 an S 奇 S偶 n n 1 例 3 设等差数列 n 的前 n 项和为 Sn 且 S5 10 S10 30 则 S15 A 60B 70C 90D 40 答案 A 解析 因为数列 n 为等差数列 所以 S5 S10 S5 S15 S10也成等差数列 设 S15 x 则 10 20 x 30 成等差数列 所以 2 20 10 x 30 所以 x 60 即 S15 60 练习 1 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 且 3 S 12 9 S 45 则 12 S 答
8、案 114 解析 因为 n a是等差数列 所以 3 S 36 SS 69 SS 912 SS 成等差数列 所以 2 36 SS 3 S 69 SS 即 2 6 S 12 12 45 6 S 解得 6 S 3 又 2 69 SS 36 SS 912 SS 即 2 45 3 3 12 12 S 45 解得 12 S 114 一定谨记等差数列的前 m 项和为数列为 m s则Sm S2m Sm S3m S2m 成等差数列 高一数学 2017 秋季 第 5页 公差为m 2d 这个和的性质的使用方法 例 4 在等差数列 n a中 1 a 2012 其前 n 项和为 n S 若 1012 1012 SS 2
9、 则 2012 S的 值等于 答案 2012 解析 解析由nn2 n BAS A B 为常数 知BA S n n n 数列 n n S 是等差数列 又 1012 1012 SS 2 n n S 的公差为 1 又其首项为 1 1 S 2012 2012 2012 S 2012 2012 1 1 1 故 2012 S 2012 练习 1 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若 1 m S 2 m S 0 1m S 3 则 m A 3B 4C 5D 6 答案 C 解析 数列 n a为等差数列 且前 n 项和为 n S 数列 n n S 也为等差数列 m 2 1m1 m m1m1 m SSS
10、即 0 1m 3 1 m 2 解得 m 5 经检验为原方程的解 故选 C 灵活使用等差数列前 n 项和的性质这条 比较特殊 例 5 等差数列 an 与 bn 的前 n 项和分别为 Sn和 Tn 若 n n T S 3n 2 2n 1 则a 7 b7等于 A 37 27 B 38 28 C 39 29 D 40 30 答案 A 解析 a 7 b7 2a7 2b7 a1 a13 b1 b13 a1 a13 2 13 b1 b13 2 13 S 13 T13 3 13 2 2 13 1 37 27 高一数学 2017 秋季 第 6页 练习 1 两个等差数列的前 n 项和之比为5n 10 2n 1 则
11、它们的第 7 项之比为 A 2B 3C 45 13 D 70 27 答案 B 解析 设这两个数列的前 n 项和分别为 Sn Tn 则 2 bb13 2 aa13 131 131 13 13 T S 13 2a 7 13 2b7 a7 b7 5 13 10 2 13 1 3 故选 B 重点是理解如何推导出来的这个公式的使用方法 只有记住性质的推导过程和公式的使 用才能更好的解决问题 例 6 已知某等差数列共有 10 项 其奇数项之和为 15 偶数项之和为 30 则其公差 为 A 5B 4C 3D 2 答案 选 C 解析 由题意得S偶 S奇 5d 15 d 3 或由解方程组 5a1 20d 15
12、5a1 25d 30 求得d 3 故选 C 练习 1 设项数为奇数的等差数列 奇数项之和为 44 偶数项之和为 33 则这个数列的中间 项是 项数是 答案 117 解析 设等差数列 an 的项数为 2n 1 S奇 a1 a3 a2n 1 2 aa1n 1n21 n 1 an 1 S偶 a2 a4 a6 a2n 2 aan n22 nan 1 S 奇 S偶 n 1 n 44 33 解得 n 3 项数 2n 1 7 S奇 S偶 an 1 即 a4 44 33 11 为所求中间项 等差数列的前 n 项和的性质应用 注重对公式的理解和灵活运用 重点是公式的理解 高一数学 2017 秋季 第 7页 等差
13、数列的前 n 项和与通项的关系 已知数列 an 的前n项和公式Sn 求通项公式an的步骤 1 当n 1 时 a1 S1 2 当n 2 时 根据Sn写出Sn 1 化简an Sn Sn 1 3 如果a1也满足当n 2 时 an Sn Sn 1的通项公式 那么数列 an 的通项公式为an Sn Sn 1 如果a1不满足当n 2 时 an Sn Sn 1的通项公式 那么数列 an 的通项公式要分段表示为 an S1 n 1 Sn Sn 1 n 2 例 7 已知下面各数列 an 的前 n 项和 Sn的公式 求 an 的通项公式 1 Sn 2n 2 3n 2 Sn 3 n 2 答案 1 an 4n 5 2
14、 an 1 n 1 2 3 n 1 n 2 解析 1 当n 1 时 a1 S1 2 1 2 3 1 1 当 n 2 时 Sn 1 2 n 1 2 3 n 1 2n 2 7n 5 则 an Sn Sn 1 2n 2 3n 2n2 7n 5 2n2 3n 2n2 7n 5 4n 5 此时若n 1 an 4n 5 4 1 5 1 a1 故an 4n 5 2 当n 1 时 a1 S1 3 1 2 1 当 n 2 时 Sn 1 3 n 1 2 则 an Sn Sn 1 3 n 2 3n 1 2 3n 3n 1 3 3n 1 3n 1 2 3n 1 此时若 n 1 an 2 3 n 1 2 31 1 2
15、a 1 故an 1 n 1 2 3 n 1 n 2 练习 1 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 点 n Sn n n N 均在函数 y 3x 2 的图象上 求数列 an 的通项公式 答案 an 6n 5 n N 解析 依题意得 Sn n 3n 2 即 Sn 3n2 2n 当 n 2 时 an Sn Sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 因 a1 S1 1 满足 an 6n 5 所以 an 6n 5 n N 只要研究此类问题就要坚持分类讨论的数学思想 一定要抓住注意要点 例 8 已知数列 an 的前n项和为Sn 且满足a1 1 2 a n 2SnSn 1 n 2 1
16、求证 数列 1 Sn是等差数列 2 求Sn和an 高一数学 2017 秋季 第 8页 答案 1 见解析 2 an 1 2 n 1 1 2n n 1 n 2 解析 1 证明 当n 2 时 an Sn Sn 1 2SnSn 1 S1 a1 0 由递推关系知Sn 0 n N N 由 式得1 Sn 1 Sn 1 2 n 2 1 Sn是等差数列 其中首项为 1 S1 1 a1 2 公差 为 2 2 由 1 知 1 Sn 2 2 n 1 2n S n 1 2n 当 n 2 时 an Sn Sn 1 1 2n n 1 当n 1 时 a1 1 2不适合上式 a n 1 2 n 1 1 2n n 1 n 2 练习 1 已知数列 an 的前n项和Sn 2n 2 n 2 1 求 an 的通项公式 2 判断 an 是否为等差数列 答案 1 an 1 n 1 4n 3 n 2 2 an 不是等差数列 解析 1 Sn 2n2 n 2 当 n 2 时 Sn 1 2 n 1 2 n 1 2 2n2 5n 1 an Sn Sn 1 2n2 n 2 2n2 5n 1 4n 3 又 a1 S1 1 不满足an 4n 3 数
