《人教A版高二数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4 平面与平面垂直的性质【教案】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高二数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4 平面与平面垂直的性质【教案】（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.4 平面与平面垂直的性质学法指导空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.知识链接空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.三维目标1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力.3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.重点难点教学重点:平面与平面垂直的性
2、质定理.教学难点:平面与平面性质定理的应用.课时安排1课时教学过程复习（1）面面垂直的定义.如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.（2）面面垂直的判定定理.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为：.两个平面垂直的判定定理图形表述为：图1导入新课思路1.(情境导入)黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCDABCD中，平面AADD与平面ABCD垂直,直线AA垂直于其交线AD.平面AADD内的直线AA与平面ABCD垂直吗？图2
3、推进新课新知探究提出问题如图3,若,=CD,AB,ABCD,ABCD=B.请同学们讨论直线AB与平面的位置关系.图3用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.设平面平面,点P,Pa,a,请同学们讨论直线a与平面的关系.分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点.总结应用面面垂直的性质定理的口诀.活动:问题引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面的关系.问题引导学生进行语言转换.问题引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面的关系.问题引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点.问题引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.讨论结果：通过学生作
4、图或借助模型探究得出直线AB与平面垂直,如图3.两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.图4两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：AB.两个平面垂直的性质定理证明过程如下：图5如图5，已知,=a,AB，ABa于B.求证：AB.证明：在平面内作BECD垂足为B,则ABE就是二面角CD的平面角.由,可知ABBE.又ABCD，BE与CD是内两条相交直线,AB.问题也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在
5、第一个平面内.下面给出证明.如图6,已知，P，Pa，a.求证：a.图6证明：设=c，过点P在平面内作直线bc，,b.而a，Pa,经过一点只能有一条直线与平面垂直,直线a应与直线b重合.那么a. 利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上. 我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线
6、平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理. 应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.应用示例思路1例1 如图7，已知，a,a,试判断直线a与平面的位置关系.图7解:在内作垂直于与交线的垂线b,b.a,ab.a,a.变式训练 如图8,已知平面交平面于直线a.、同垂直于平面，又同平行于直线b.求证：(1)a；(2)b. 图8 图9证明：如图9,(1)设=AB，=AC.在内任取一点P并在内作直线PMAB，PNAC.，PM.而a，PMa.同理,PNa.又PM，PN，a.(2)在
7、a上任取点Q，过b与Q作一平面交于直线a1，交于直线a2.b，ba1.同理,ba2.a1、a2同过Q且平行于b，a1、a2重合.又a1，a2，a1、a2都是、的交线，即都重合于a.ba1，ba.而a，b.点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.例2 如图10，四棱锥PABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB底面ABCD. 图10 图11（1）证明侧面PAB侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；（3）求直线AB与平面PCD的距离.（1）证明
8、：在矩形ABCD中，BCAB,又面PAB底面ABCD,侧面PAB底面ABCD=AB,BC侧面PAB.又BC侧面PBC,侧面PAB侧面PBC.（2）解：如图11,取AB中点E，连接PE、CE,又PAB是等边三角形,PEAB.又侧面PAB底面ABCD，PE面ABCD.PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.PE=BA=,CE=,在RtPEC中，PCE=45为所求.（3）解：在矩形ABCD中，ABCD,CD侧面PCD，AB侧面PCD，AB侧面PCD.取CD中点F，连接EF、PF，则EFAB.又PEAB,AB平面PEF.又ABCD,CD平面PEF.平面PCD平面PEF.作EGPF，垂足为G，则EG平面P
9、CD.在RtPEF中，EG=为所求.变式训练 如图12，斜三棱柱ABCA1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60角，侧面BCC1B1面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角的大小.图12活动:请同学考虑面BB1C1C面ABC及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.解：面ABC面A1B1C1，则面BB1C1C面ABC=BC,面BB1C1C面A1B1C1=B1C1,BCB1C1，则B1C1面ABC.设所求两面交线为AE，即二面角的棱为AE,则B1C1AE，即BCAE.过C1作C1DBC于D，面BB1C1C面ABC,C1D面ABC，C1DBC.又C1CD=60,CC1=a
10、,故CD=,即D为BC的中点.又ABC是等边三角形,BCAD.那么有BC面DAC1,即AE面DAC1.故AEAD，AEAC1,C1AD就是所求二面角的平面角.C1D=a，AD=a，C1DAD,故C1AD=45.点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.思路2例1 如图13，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至ABD的位置，使CD=AC,图13（1）求证：平面ABD平面ABC；（2）求二面角CBDA的余弦值.（1）证明：(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC.O是ABC的外心，即AB的中点.OAB，即O平面ABD.OD平
11、面ABD.平面ABD平面ABC.(证法二):取AB中点O，连接OD、OC,则有ODAB，OCAB，即COD是二面角CABD的平面角.设AC=a，则OC=OD=,又CD=AD=AC,CD=a.COD是直角三角形，即COD=90.二面角是直二面角，即平面ABD平面ABC.（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC,BCD为正三角形，CEBD.又BOD为等腰直角三角形,OEBD.OEC为二面角CBDA的平面角.同（1）可证OC平面ABD,OCOE.COE为直角三角形.设BC=a，则CE=a，OE=a,cosOEC=即为所求.变式训练 如图14，在矩形ABCD中，AB=33,BC=3，沿对角线BD
12、把BCD折起，使C移到C，且C在面ABC内的射影O恰好落在AB上.图14（1）求证：ACBC；（2）求AB与平面BCD所成的角的正弦值；（3）求二面角CBDA的正切值.（1）证明：由题意,知CO面ABD,COABC,面ABC面ABD.又ADAB,面ABC面ABD=AB,AD面ABC.ADBC.BCCD,BC面ACD.BCAC.(2)解:BC面ACD,BC面BCD,面ACD面BCD.作AHCD于H,则AH面BCD,连接BH,则BH为AB在面BCD上的射影,ABH为AB与面BCD所成的角.又在RtACD中,CD=33,AD=3,AC=3.AH=.sinABH=,即AB与平面BCD所成角的正弦值为.
13、(3)解:过O作OGBD于G,连接CG,则CGBD,则CGO为二面角CBDA的平面角.在RtACB中,CO=,在RtBCD中,CG=.OG=.tanCGO=,即二面角CBDA的正切值为.点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了.例2 如图15,三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30角，求二面角BB1CA的正弦值.图15活动:可以知道，平面ABC与平面BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.解：由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC1B1，过A作AN平面BCC1B1，垂足为N，则AN平面BCC1B1（AN即为我们要找的垂线）,在平面BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连接QA，则NQA即为二面角的平面角.AB1在平面ABC内的射影为AB，CAAB，CAB1A.AB=BB1=1，得AB1=.直线B1C与平面ABC成30角，B1CB=30，B1C=2.在RtB1AC中，由勾股定理,得AC=.AQ=1.在RtBAC中，AB=1，AC=，得AN=.sinAQN=,即二面角BB1CA的正弦值为.变式训练
