人教A版高中数学 必修五 2.5 第2课时 等比数列的前n项和 素材

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1、等比数列的性质总结1. 等比数列的定义:,称为公比2. 通项公式:,首项:;公比:推广:, 从而得. 3. 等比中项(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项即:或注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)(2)数列是等比数列4. 等比数列的前项和公式:(1)当时, .(2)当时,(为常数)5. 等比数列的判定方法(1)定义法:对任意的,都有为等比数列. (2)中项公式法:(0)为等比数列.(3) 通项公式法:为等比数列(4) 前项和公式法:为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义:若或为等比数列7. 注意(1)等比数列的通项公式及前和公式中,涉及到5

2、个元素:、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。(2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项;如奇数个数成等比,可设为,(公比为,中间项用表示);8. 等比数列的性质(1)当时等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数,底数为公比.前项和,系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比(2)对任何,在等比数列中,有,特别的,当时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若 (),则.特别的,当时,得注:(4)数列,为等比数列,则数列, (k为非零常数) 均为等比数列.(5)数列为等比数列,每隔

3、项取出一项()仍为等比数列.(6)如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列.(7)若为等比数列,则数列,成等比数列.(8)若为等比数列,则数列, , 成等比数列(9)当时, 当时,当时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列).当时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列中, 当项数为2n (n)时,.(11)若是公比为q的等比数列,则注意:解决等比数列问题时,通常考虑两类方法:基本量法:即运用条件转化为关于和的方程;巧妙运用等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量等比数列练习一、选择题1.已知数列成等差数列, 成等比数列,则的值为( )A、 B、 C、或 D、2.等比数列中,

4、为方程的两根,则的值为( )A B C D3.已知9,a1,a2,1四个实数成等差数列,9,b1,b2,b3,1五个实数成等比数列,则b2(a2a1)( )A8 B8 C D4.某数列既成等差数列也成等比数列,那么该数列一定是 ( ) A公差为0的等差数列; B公比为1的等比数列; C常数数列1,1,1; D以上都不对.5.等比数列的各项均为正数,且18,则( )A12 B10 C8 D26.已知是公差不为0的等差数列的前项和,且成等比数列,则等于( )A. 4 B. 6 C.8 D.107.公差不为零的等差数列的前项和为,若是与的等比中项,则等于( )A、28 B、32 C、36 D、408

5、.等比数列的前项和为,若,则公比为( )A.1 B.1或1 C.或 D.2或29.已知等比数列的公比为2,前4项的和是1,则前8项的和为( ) A.15 B17 C19 D 2110.设是公比为正数的等比数列,若,则数列的前5项和为( )高考资源网A15 B31 C32 D41二、填空题13.设等比数列的前n项和为。若,则= 14.已知等差数列满足:。若将都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为 。15.等比数列的公比, 已知=1,则的前4项和= _.16.等比数列的前项和=,则=_.三、解答题17.(1)在等差数列中,求及前项和;(2)在等比数列中,求18.为了保护三峡库

6、区的生态环境,凡是坡度在25以上的坡荒地都要绿化造林。据初步统计,到2012年底库区的绿化率只有30%。计划从2013年开始加大绿化造林的力度,每年原来坡度在25以上的坡荒面积的16%将被造林绿化,但同时原有绿化面积的4%还是会被荒化。设该地区的面积为1,2012年绿化面积为,经过一年绿化面积为a2,经过n年绿化面积为 (I)试写出的关系式,并证明数列是等比数列;(II)问至少需要经过多少年努力,才能使库区的绿化面积超过60%?19.已知等比数列记其前n项和为(1)求数列的通项公式; (2)若20.在等比数列中,公比,设,且(1)求证:数列是等差数列; (2)求数列的前项和及数列的通项公式;(

7、3)试比较与的大小.21.等比数列的前项和为,求公比。22.设数列的前项和,且. 其中为常数,且()求证是等比数列;()若数列的公比,数列满足,求证为等差数列,并求.答案一、选择题1.A 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A 10.B二、填空题13.3 14.-1 15. 16.三、解答题17.解析:(1)数列是等差数列,因此, 由于 又 (2) 由 所以,18.解析:(I)设2012年坡度在25以上的坡荒地面积为b1,经过n年绿化造林后坡荒地面积为由 所以数列 (II)由(I)可知 故至少需要5年才能使库区的绿化面积超过60%。19.解析:(1)设等比数列的公比为q,则 解得 所以 (2) 由20.解析:(1)由已知为常数.故数列为等差数列,且公差为 (先求也可) (2)因,又,所以由由. (3)因当时,所以时,; 又可验证是时,;时,. 21.解析:若 则 矛盾 说明:此题易忽略的情况,在等比数列求和时要分公比两种情况进行讨论。22.解析:()由,两式相减得 3分, an是等比数列 6分()b1=a1=1, 10分是1为首项为公差的等差数列 14分

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