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1、湖南师大附中2019届高三月考试卷(七)数学(理科)时量:120分钟满分:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知复数za(aR),若z为纯虚数,则|a2i|(B)A5 B. C2 D.【解析】因为zai(3i)a13i为纯虚数,则a1,所以|a2i|,选B.2下列说法错误的是(B)A在回归模型中,预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定B若变量x,y满足关系y0.1x1,且变量y与z正相关,则x与z也正相关C在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高D以模型ycekx去拟合一组数据时,为了求出回归方
2、程,设zln y,将其变换后得到线性方程z0.3x4,则ce4,k0.3【解析】对于A,在回归模型中,预报变量y的值由解释变量x和随机误差e共同确定,即x只能解释部分y的变化,所以A正确;对于B,由回归方程知变量y与z正相关,则x与z负相关,所以B错误;对于C,在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高,C正确;由回归分析的意义知D正确故选B.3函数f(x)(其中e为自然对数的底数)的图象大致为(A)【解析】当x0时,ex1,则f(x)0;当x0时,ex1,则f(x)0;P3:D,xy0,b0)的右焦点为F,直线l为双曲线C的一条渐近线,点F关于直线l的对称点为P,若点
3、P在双曲线C的左支上,则双曲线C的离心率为_【解析】如图,设直线l与线段PF的交点为A,因为点P与F关于直线l对称,则lPF,且A为PF的中点,所以|AF|b,|OA|a,|PF|2|AF|2b.设双曲线的左焦点为E,因为O为EF的中点,则|PE|2|AO|2a,据双曲线定义,有|PF|PE|2a,则2b2a2a,即b2a.所以e.15对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图的方式“分裂”仿此,若m3的“分裂”中最小的数是211,则m的值为_15_【解析】2213,2335,2479,32135,337911,34252729.不难得出规律,2n可以表示为两个连续奇数之和;3n可以表示为三个
4、连续奇数之和;5n可以表示为五个连续奇数之和;m3的可以表示为m个连续奇数之和,即2112132112(m1)m3,m3m2210m0,因为m0,所以m15.16设a为整数,若对任意的x(0,),不等式ea恒成立,则a的最大值是_1_【解析】令f(x)(x0),则f(x).令g(x)ex3(x0),则g(x)xex0,所以g(x)在(0,)上单调递增因为g(1)30,则g(x)在(1,2)内只有一个零点设g(t)0,则et.当x(0,t)时,g(x)0,从而f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)minet.由题意知eaet,即at.因为t(1,2),a为整数,所以a的最大值为1.三、解答题
5、:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分17(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足acos Bbcos A2ccos C.(1)求角C的大小;(2)若ABC的周长为3,求ABC的内切圆面积S的最大值【解析】(1)由已知,sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos C,(2分) 即sin(AB)2sin Ccos C,因为sin(AB)sin C0,则cos C,(4分)又C(0,),所以C.(5分)(2)设ABC的内切圆半径为R,则
6、absin3R,则Rab,(6分)由余弦定理,得a2b2ab(3ab)2,化简得3ab2(ab),(8分)因为ab2,则3ab4,解得3或1,(10分)若3,则a,b至少有一个不小于3,这与ABC的周长为3矛盾;(11分)若1,则当ab1c时,R取最大值.所以ABC的内切圆面积的最大值为Smax.(12分)18(本小题满分12分)如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,且ABC60,BM平面ABCD,BMDN,BM2DN,点E是线段MN上任意一点(1)证明:平面EAC平面BMND;(2)若AEC的最大值是,求三棱锥MNAC的体积【解析】(1)因为BM平面ABCD,则ACBM.(2分)又四边形ABCD是菱形,则ACBD,所以AC平面BMND. (4分)因为AC在平面EAC内,所以平面EAC平面BMND.(5分)(2)设AC与BD的交点为O,连结EO. 因为AC平面BMND,则ACOE,又O为AC的中点,则AECE,所以cosAEC1,AEC(0,)当AE最短时AE