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1、安徽省池州市2020 届高三上学期期末考试 数学 理 试题 一 单选题 1 已知集合 210 Ax yxy 0 Bx yxy 则A BI A 1 1 xy B 1 1 C 1 1 D 答案 C 解析 根据集合 A和集合B所表示的意义 根据集合的交集运算 得到答案 详解 因为集合 210 Ax yxy 0 Bx yxy 集合A表示满足210 xy的点的集合 即直线210 xy的图像 集合B表示满足0 xy的点的集合 即直线0 xy的图像 所以ABI表示两条直线的交点 解 210 0 xy xy 得 1 1 x y 所以 1 1 ABI 故选 C 点睛 本题考查集合的描述法 集合交集的运算 属于简
2、单题 2 已知复数3 2 1 i z i 则z在复平面内对应点所在象限为 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 答案 B 解析 对复数进行化简 从而得到z 再得到z在复平面内对应点所在的象限 详解 3 22 1 2 1 ii z iii 1 11 i ii 11 22 i 则 11 22 zi z在复平面内对应点为 1 1 2 2 在第二象限 故选 B 点睛 本题考查复数的计算 共轭复数 复数在复平面对应的点 属于简单题 3 如图所示 ABCV中 2 AB2 AC 120BAC 半圆 O 的直径在边BC 上 且与边 AB AC 都相切 若在ABCV内随机取一点 则此点取自阴影部分
3、半圆 O 内 的概率为 A 3 8 B 3 6 C 4 D 3 答案 A 解析 根据条件得到半圆O的半径 然后计算出ABCV的面积和半圆O的面积 根据几何概型的 公式 得到答案 详解 如图所示 1OA 60OAC 3 2 rOD 所以ABCV的面积 13 223 22 S 半圆 O 的面积 213 28 Sr 根据几何概型公式得 3 3 8 8 3 S P S 故选 A 点睛 本题考查求几何概型 面积型的概率 属于简单题 4 将函数 yf x 的图象向左平移 4 后得到曲线 1 C 再将1 C 上所有点的横坐标伸长到原的2 倍 得到曲线 2 C 若 2 C的解析式为 cosyx 则 fx 的解
4、析式为 A sin4yx B cos2yx C sin 2yx D cos4yx 答案 C 解析 将 2 cosCyx横坐标压缩到原的一半得到 1 C 再向右平移 4 得到函数fx 详解 先将 2 cosCyx图象上所有点的横坐标压缩到原的一半得到曲线 1 cos2Cyx 再将曲线 1 cos2Cyx上所有的点向右平移 4 得到 函数 cos2sin 2 4 f xxx 故选 C 点睛 本题考查根据三角函数的图像变换求变换前的解析式 属于简单题 5 函数 2 1 4ln 31 f xxx 的定义域为 A 1 1 2 B 1 1 3 2 C 1 1 2 4 D 1 1 2 2 答案 B 解析 根
5、据函数解析式 得到 2 140 310 x x 解出x的取值范围 得到fx定义域 详解 因为函数 2 14ln 31 f xxx 有意义 所以 2 140 310 x x 解得 11 22 1 3 x x 所以解集为 11 32 x 所以fx定义域为 1 1 3 2 故选 B 点睛 本题考查求具体函数定义域 属于简单题 6 已知双曲线 22 22 1 xy C ab 0 0 ab 的两条渐近线均与圆 2 22 4 b xay相切 则双曲 线 C 的离心率为 A 3 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 先得到双曲线C的渐近线 然后根据渐近线与圆相切 利用点到直线的距离等于半径 得 到a和c的
6、关系 求出离心率 得到答案 详解 双曲线 22 22 1 xy C ab 的渐近线为 b yx a 因为两条渐近线均与圆 2 22 4 b xay相切 所以点 0 a到直线 b yx a 的距离等于半径 2 b 即 2 2 2 1 babb d c b a 又因为 222 cab 整理得到2ca 故双曲线C 的离心率为2 c e a 故选 B 点睛 本题考查求双曲线渐近线 根据直线与圆相切求参数关系 求双曲线的离心率 属于简单题 7 已知实数 y 满足不等式 20 250 1 xy xy y 则 3 y z x 的最大值为 A 3 5 B 4 5 C 3 4 D 3 2 答案 C 解析 根据约
7、束条件画出可行域 目标函数 3 y z x 转化为点 x y与3 0连线的斜率 从而 求出其最大值 详解 根据约束条件 20 250 1 xy xy y 画出可行域 图中阴影部分为可行域 目标函数 3 y z x 表示可行域中点 x y 与 3 0 连线的斜率 由图可知点 1 3 P与 3 0 连线的斜率最大 故的最大值为 3 4 故选 C 点睛 本题考查线性规划求分式型目标函数的最大值 属于中档题 8 如图所示 矩形ABCD 的边 AB 靠在墙 PQ 上 另外三边是由篱笆围成的 若该矩形的面积为4 则围成矩形ABCD 所需要篱笆的 A 最小长度为8 B 最小长度为 4 2 C 最大长度为8
8、D 最大长度为 4 2 答案 B 解析 设 BCa CDb 得到4ab 所求的篱笆长度为2ab 根据基本不等式 得到最 小值 详解 设 BCa CDb 因为矩形的面积为 4 所以4ab 所以围成矩形 ABCD所需要的篱笆长度为 44 222 2abaa aa 4 2 当且仅当 4 2 a a 即 2a 时 等号成立 故选 B 点睛 本题考查基本不等式求和的最小值 属于简单题 9 若 3 sin 122 则 2 sin 2 3 A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 答案 A 解析 根据条件和二倍角公式 先计算出 cos2 6 的值 再将所要求的 2 sin 2sin2 362 根据诱导
9、公式进行化简 得到答案 详解 因为 3 sin 122 所以 2 3 cos212 62 1 2 2 sin 2sin2 362 cos 2 6 cos2 6 1 2 故选 A 点睛 本题考查三角函数中的给值求值 二倍角公式 诱导公式化简 属于中档题 10 若61014log 3 log5 log7abc 则 A abc B b ca C a cb D c ba 答案 D 解析 分析 三个对数的底数和真数的比值都是 2 因此三者可化为 1 fx x x 的形式 该函 数为0 上的单调增函数 从而得到三个对数的大小关系 详解 2 2 log 3 1log 3 a 2 2 log 5 1log 5
10、 b 2 2 log 7 1log 7 c 令 1 1 0 11 x fxx xx 则fx在0 上是单调增函数 又 222 0log 3log 5log 7 所以 222 log 3log 5log 7fff即a bc 故选 D 点睛 对数的大小比较 要观察不同对数的底数和真数的关系 还要关注对数本身的底数与真数的 关系 从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小 11 已知三棱锥中 为中点 平面 则下列说法中 错误的是 A 若为的外心 则 B 若为等边三角形 则 C 当时 与平面所成角的范围为 D 当时 为平面内动点 若平面 则在三角形内的轨迹长度为 答案 B 解析 利用射影相等可
11、知 利用反证法可知不成立 构造线面角 可得其正 弦值的范围为 故可判断线面角的范围 利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行 的中位线 详解 若为的外心 则 由射线相等即可知 故 A 正确 假设 则再根据 得平面 则 与为等边三角形矛盾 故B 错误 当时 过作 连结 易知为与平面所成角 故的范围为 故 C 正确 取 分别为 的中点 则平面平面 则线段为在三角形内的轨 迹 其长度为 故 D 正确 点睛 本题为立体几何中与点 线 面位置关系有关的命题的真假判断 处理这类问题 可以用已知的定 理或性质证明 也可以用反证法说明命题的不成立 此类问题通常是中档题 12 已知双曲线 22 22 1 xy C
12、 ab 0 0 ab 的离心率为 5 2 过右焦点F 的直线与两条渐近线分 别交于 A B 且 ABBF u uu ruuu r 则直线AB 的斜率为 A 1 3 或 1 3 B 1 6 或 1 6 C 2 D 1 6 答案 B 解析 根据双曲线的离心率求出渐近线方程 根据 ABBF uuu ruu u r 得到B为AF中点 得到B与 A的 坐标关系 代入到渐近线方程中 求出 A点坐标 从而得到AB 的斜率 得到答案 详解 因为双曲线 22 22 1 xy C ab 0 0 ab 的离心率为 5 2 又 2 2 2 c e a 2 2 5 1 4 b a 所以 1 2 b a 所以双曲线渐近线
13、为 1 2 yx 当点 A 在直线 1 2 yx上 点 B 在直线 1 2 yx上时 设 AA A x y BB B xy 由 c 0 F及 B 是 AF 中点可知 2 2 A B A B xc x y y 分别代入直线方程 得 1 2 1 222 AA AA yx yxc 解得 2 4 A A c x c y 所以 2 4 c c A 所以直线AB 的斜率 ABAF kk 4 2 c c c 1 6 由双曲线的对称性得 1 6 k也成立 故选 B 点睛 本题考查求双曲线渐近线方程 坐标转化法求点的坐标 属于中档题 二 填空题 13 等腰直角三角形ABC 中 90 C 2CACB 则有 CA
14、AB uu u r uuu r 答案 2 解析 先求出AB uuu r 再根据向量数量积公式 求出 CA AB uu u r uuu r 的值 得到答案 详解 等腰直角三角形ABC 中 90 C 2CACB 所以 2AB uu u r 所以cosCA ABCAABA uu u r uu u ru uu ru uu r 2 222 2 故答案为 2 点睛 本题考查计算向量的数量积 属于简单题 14 sin613cos1063tan30的值为 答案 3 3 解析 根据诱导公式 进行化简 从而得到答案 详解 sin 613cos1063tan30 sin 253cos17tan30 sin 73co
15、s17tan30 cos17cos17tan30 3 3 故答案为 3 3 点睛 本题考查诱导公式化简 特殊角三角函数值 属于简单题 15 数列 1 252 2 n n的最大项所在的项数为 答案 11 解析 1 252 2 n n an 2n时 1 1 nn nn aa aa 得到关于n的不等式组 解得n的范围 结合 nN 得到 n的值 再与1n时进行比较 得到答案 详解 令 1 252 2 n n an 当2n时 设 n a为最大项 则 1 1 nn nn aa aa 即 12 1 252 2 272 2 252 2 232 2 nn nn nn nn 解得 2123 22 n 而 nN 所
16、以11n 又1n时 有 12 2342aa 所以数列 1 252 2 n n 的最大项所在的项数为11 故答案为 11 点睛 本题考查求数列中的最大项 属于简单题 16 已知三棱锥P ABC 的四个顶点在球O 的球面上 5 PABC 13 PBAC 2 5PCAB 则球 O 的表面积为 答案 29 解析 将三棱锥PABC补成长方体 根据棱长求出外接球的半径 然后求出外接球的表面积 得到答案 详解 如图所示 将三棱锥PABC补成长方体 球O为长方体的外接球 边长分别为a b c 则 22 22 22 25 13 20 ab ac bc 所以 222 29abc 所以 29 2 R 则球O的表面积为 2 4SR 2 29 4 2 29 故答案为 29 点睛 本题考查求三棱锥外接球的表面积 属于中档题 三 解答题 17 已知等比数列 n a各项均为正数 n S是数列 n a的前 n 项和 且 1 16 a 3 28S 1 求数列 n a 的通项公式 2 设 1 2 log nn ba 求数列 n b的前 n 项和 n T 答案 1 5 2 n n a nN 2 2 9 2 nn 解析 1 设
