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1、第七章第七章 定积分定积分第一节 定积分的概念例例1 1：变力作功：变力作功例例2 2：变速直线运动的路程：变速直线运动的路程例例3 3：曲边梯形的面积：曲边梯形的面积 这些例子，都归结为一种和式的这些例子，都归结为一种和式的极限，我们把它抽象出来，得到定积极限，我们把它抽象出来，得到定积分的定义分的定义: :一一.背景（引入）背景（引入）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值最后通过对时间的无
2、限细分过程求得路程的精确值（二）变速直线运动的距离（二）变速直线运动的距离（1 1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2 2）求和）求和（3 3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值xyoab( (三三) ) 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积a ab bx xy yo o用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积
3、的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，
4、观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面
5、积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示
6、过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系曲边梯形面积求法：曲边梯形面积求法：曲边梯形面积为曲边梯形面积为二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义7.1 7.1 设函数设函数在区间在区间上有定义，上有定义， (1) (1) 分割分割 在在 内内任意任意插入插入 个分点。个分点。 它将它将 分成分成个小区间，个小区间， 第第 个小区间个小区间 的长度记为的长度记为 在每个小区间上在每个小区间上任取任取一点一点 (2) (2) 取点取点(3) (3) 作和作和 记记 作和式作和式 （4）求极限）求极限 令令 若和式若和式 的极限存在的极限存在 （设为（设为
7、I）且且 不依赖于分法，也不不依赖于分法，也不依赖于依赖于 的选取，的选取， 则称则称 在在 是可积的，是可积的， 否则称为不可积。否则称为不可积。 称为称为 在在 的定积分，记为的定积分，记为 即即 上述定义用上述定义用语言给出语言给出。 有了积分概念以后，有了积分概念以后，上面的例子便可用其表示。上面的例子便可用其表示。例例1： 变力变力 使质点从使质点从 移到移到 所作的功所作的功 为为 例例2： 变速直线运动的路程，就是速度变速直线运动的路程，就是速度 在时间段在时间段 上的定积分，即上的定积分，即 例例3： 曲边梯形（由曲边梯形（由 轴及曲线轴及曲线 所围成的图形）的面积所围成的图形
8、）的面积 为为 几点说明：几点说明：1.定义中的两个任意性。定义中的两个任意性。2.定义中定义中 ，表示对，表示对 无限细分无限细分的过程，的过程， 但但 3.当我们已知当我们已知 可积的情况下，可取区间的特殊可积的情况下，可取区间的特殊分法和分法和 的特殊取法来求积分和。的特殊取法来求积分和。 这就是用定义这就是用定义求积分的依据。求积分的依据。 4.定积分只与被积函数和积分区间（上、下限）有关，定积分只与被积函数和积分区间（上、下限）有关，与积分变量无关。与积分变量无关。即即例例 用定义求积分：用定义求积分：5.规定规定 ： 第二节第二节 定积分的基本性质定积分的基本性质定理定理 7.1
9、(可积函数必有界可积函数必有界)在在上可积，上可积，则则在在上有界。上有界。但反过来不成立。例如：但反过来不成立。例如： 函数 在 是不可积的 定理定理7.2(积分的线性性质积分的线性性质) 定理定理7.3 （定积分区间的可加性）（定积分区间的可加性）定理定理7.4 （积分的单调性）（积分的单调性）推论推论7.1 若若 在在 可积，可积， 则则 定理定理7.5 函数的一致连续性概念函数的一致连续性概念设设 在某一区间在某一区间 （或开，或闭）连续，按照定义，（或开，或闭）连续，按照定义，也就是也就是 在区间在区间 中的每一点都连续，即中的每一点都连续，即 使当使当 时，时， 一般说来：对同一个
10、一般说来：对同一个 ，当，当 不同时，不同时， 也不同也不同 用符号：用符号： 当当 时，时， 例：图例：图7.7曲线曲线 对接近于原点的对接近于原点的 就取得小一些，就取得小一些， 而当而当 离原点较远时，离原点较远时， 却可以取大一些，却可以取大一些， 对后者对后者所取的所取的 值，值， 对前者就不一定适用。对前者就不一定适用。 能否找到（是否存在）一个对区间能否找到（是否存在）一个对区间 内所有点内所有点都适用的都适用的 。 从图大致看出，从图大致看出， 在在 中就没有公共的中就没有公共的 ，有时却需要这种对所有点，有时却需要这种对所有点都适用的都适用的 存在，这就需要存在，这就需要 设
11、函数设函数 在区间在区间 有定义，有定义， 若对任给若对任给 存在只与存在只与 有关而与有关而与 内的点内的点 无关的无关的 ，使得对任意，使得对任意 只要只要 就有就有 则称则称 在区间在区间 一致连续。一致连续。 用符号：用符号： 当当 时，时， 一致连续的定义一致连续的定义将函数在区间 的定义加以比较， 可见它们截然不同：前者（连续）：给定了 和 来决定 。 一般说来， 随 和 而改变， 记为 而后者（一致连续）： 是只给了 就能决定即 只随 而变， 我们记为 而这种 对任意的 都可用。 仍拿 的情形看： 对 我们不妨求出满足 时， 的 的最大值，来看看 依赖于 的情况。 从 得： 不妨
12、设 从而或 故只要取 则它是使 成立的最大的 显然， 当 时 可见 的确依赖于 我们得不到一个对 中每点都适用的函数 也就是说 在 不一致连续 现设 是一个小于1的函数 下面在 来考虑 由前面难导， 当 时 则对 中任意 和 只要 就有 即 在区间 是一致连续的 应当注意： 函数在某区间的连续性， 只与区间中每一点及其附近的 的情形有关 ,是局部性质 而一致连续性， 是整体性质 函数 在区间 非一致连续的肯定叙述： 若存在某个 对任意 都存在两点 使得 但 则得 在 非一致收敛 例1： 证明 在 一致连续， 其中 而在 连续但不一致连续。 证明:在某区间上:连续与一致连续的关系引出： 定理：
13、定理7.6： 闭区间 上的连续函数 一定在 一致连续 若 在 连续，则 在 可积 一个有界函数但不可积的例子。例2 函数 在 是不可积的 定理7.6 康托（Cantor）定理闭区间 上的连续函数 一定在 一致连续 定理7.7定理7.8：（积分第一中值定理）特别：当 时的情形， 在 可积，令 则 是 上的连续函数。 定理7.9第三节第三节 微积分基本定理微积分基本定理（一）变上限积分的定义定义定义 （二）变上限积分的性质：定理定理 1 1二、微积分基本定理二、微积分基本定理（一）Newton-Leibniz公式定理定理 2 2牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式证证令令令令注注: :（二）例题例例
14、2 2 求求 原式原式解解例例 3 3 求求 解解由图形可知由图形可知第四节 定积分的计算（一）定积分的换元法定理定理7.13设函数 在 连续，单值函数满足:1)2) 在上则有连续微商 ，证证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,是的原函数 , 因此有且它们的原函数也存在 .说明说明: :1) 当 , 即区间换为定理 1 仍成立 .2) 必需注意换元必换限换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即或配元配元不换限例例1. 计算解解: 令则 原式 =且例例3.证证:(1) 若(2) 若偶倍奇零偶倍奇零定理定理2. 则证证:二、定积分的分部积分法二
15、、定积分的分部积分法例例7. 证明证明证证: 令 n 为偶数 n 为奇数则则由此得递推公式于是而故所证结论成立 .第五节第五节 定积分在物理学中的定积分在物理学中的应用初步应用初步小窄条上各点的压强例例4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的利用对称性 , 侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 说明说明: 当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数奇函数例例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.解解: 建
16、立坐标系如图. 细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为在试计算利用对称性利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为 说明说明:2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒 .移到 b (a 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 (3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使 (03考研) 证证: : (1) 由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 (2) 设满足柯西中值定理条件, 于是存在 即 (3) 因 在a, 上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 作业P199:2.3P210:6.8.9.15P216:3.4P222:1.2.5.6.7
