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1、绝密 启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共12 小题 每小题5 分 共60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 要求的 1 设 3i 12i z 则 z A 2 B 3 C 2 D 1 2 已知集合1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 52
2、3 6 7UAB 则CUBAI A 1 6B 1 7C 6 7D 1 6 7 3 已知 0 20 3 2 log 0 2 2 0 2abc 则 A B C D 4 古希腊时期 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51 2 51 2 0 618 称为黄金分割比例 著名的 断臂维纳斯 便是如此 此外 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是 51 2 若某人满足上述两个黄金分割比例 且腿长为105cm 头顶至脖子下端的长 度为 26cm 则其身高可能是 abcacbcabbca A 165 cm B 175 cm C 185 cm D 190cm 5 函数 f
3、 2 sin cos xx xx 在 的图像大致为 A B C D 6 某学校为了解1 000 名新生的身体素质 将这些学生编号为1 2 1 000 从这些新生中用系统抽样 方法等距抽取100 名学生进行体质测验 若46 号学生被抽到 则下面4 名学生中被抽到的是 A 8 号学生B 200 号学生C 616 号学生D 815 号学生 7 tan255 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 8 已知非零向量a b 满足a 2b 且 a b b 则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 9 如图是求 1 1 2 1 2 2 的程序框图 图中空白框中应填入 A A
4、1 2A B A 1 2 A C A 1 12A D A 1 1 2A 10 双曲线C 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线的倾斜角为130 则 C 的离心率为 A 2sin40 B 2cos40 C 1 sin50 D 1 cos50 11 ABC 的内角 A B C 的对边分别为a b c 已知 asinA bsinB 4csinC cosA 1 4 则 b c A 6 B 5 C 4 D 3 12 已知椭圆C 的焦点为 过F2的直线与C 交于A B 两点 若222AFF B 1 ABBF 则 C 的方程为 A 2 2 1 2 x y B 22 1 32 xy C 22
5、1 43 xy D 22 1 54 xy 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 曲线 2 3 e x yxx在点 0 0 处的切线方程为 14 记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和 若 13 3 1 4 aS 则 S4 15 函数 3 sin 2 3cos 2 f xxx的最小值为 16 已知 ACB 90 P为平面ABC 外一点 PC 2 点P到 ACB两边AC BC的距离均为 3 那么 P到平面ABC的距离为 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题为必考题 每个试题考生 都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求
6、作答 一 必考题 60 分 17 12 分 某商场为提高服务质量 随机调查了50 名男顾客和50 名女顾客 每位顾客对该商场的服务给出满意 或不满意的评价 得到下面列联表 满意不满意 男顾客40 10 女顾客30 20 1 分别估计男 女顾客对该商场服务满意的概率 2 能否有95 的把握认为男 女顾客对该商场服务的评价有差异 121 01 0FF 附 2 2 n adbc K ab cdacbd P 2 0 050 0 010 0 001 3 841 6 635 10 828 18 12 分 记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 已知 S9 a5 1 若 a3 4 求 an 的通项公式 2
7、 若 a1 0 求使得 Sn an的 n 的取值范围 19 12分 如图 直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形 AA1 4 AB 2 BAD 60 E M N 分别是 BC BB1 A 1D 的中点 1 证明 MN 平面 C1 DE 2 求点 C 到平面 C1DE 的距离 20 12 分 已知函数f 2sin cos f 为 f 的导数 1 证明 f 在区间 0 存在唯一零点 2 若 0 时 f a 求 a 的取值范围 21 12 分 已知点 A B 关于坐标原点O 对称 AB A M 过点 A B 且与直线 2 0 相切 1 若 A 在直线 y 0 上 求 M 的半径 2 是否存在
8、定点P 使得当A 运动时 MA MP 为定值 并说明理由 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系Oy 中 曲线C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t t 为参数 以坐标原点O 为极点 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系 直线l 的极坐标方程为 2cos3sin110 1 求 C 和 l 的直角坐标方程 2 求 C 上的点到l 距离的最小值 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 a b c为正数 且满足abc 1 证明 1 222 111 ab
9、c abc 2 333 24abbcca 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 参考答案 一 选择题 1 C 2 C 3 B 4 B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 A 10 D 11 A 12 B 二 填空题 13 y 3 14 5 8 15 4 16 2 三 解答题 17 解 1 由调查数据 男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0 8 50 因此男顾客对该商场服务满意的概 率的估计值为0 8 女顾客中对该商场服务满意的比率为 30 0 6 50 因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0 6 2 2 2 100 402030 10 4 762 50507030 K 由
10、于4 7623 841 故有 95 的把握认为男 女顾客对该商场服务的评价有差异 18 解 1 设 n a的公差为 d 由 95 Sa得 1 40ad 由a3 4得 1 24ad 于是 1 8 2ad 因此 n a的通项公式为102 n an 2 由 1 得 1 4ad 故 9 5 2 nn n nd and S 由 1 0a知0d 故 nn Sa 等价于 2 1110 0nn 解得 1 n 10 所以 n的取值范围是 110 nnnN剟 19 解 1 连结 1 B C ME 因为 M E分别为 1 BBBC的中点 所以 1 MEB C 且 1 1 2 MEB C 又因为 N 为 1 A D的
11、中点 所以 1 1 2 NDA D 由题设知 11 ABDC 可得 11 BCA D 故 MEND 因此四边形 MNDE为平行四边形 MNED 又MN平面 1 C DE 所以 MN 平面 1 C DE 2 过 C作C1E的垂线 垂足为 H 由已知可得DEBC 1 DEC C 所以 DE 平面 1 C CE 故 DE CH 从而 CH 平面 1 C DE 故 CH的长即为 C到平面 1 C DE的距离 由已知可得 CE 1 C1C 4 所以 1 17C E 故 4 17 17 CH 从而点 C到平面 1 C DE的距离为 4 17 17 20 解 1 设 g xfx 则 cossin1 cosg
12、 xxxxgxxx 当 0 2 x时 0gx 当 2 x 时 0gx 所以 g x在 0 2 单调递增 在 2 单 调递减 又 0 0 0 2 2 ggg 故 g x在 0 存在唯一零点 所以 fx在 0 存在唯一零点 2 由题设知 0faf 可得 a 0 由 1 知 fx在 0 只有一个零点 设为 0 x 且当 0 0 xx时 0fx 当 0 xx时 0fx 所以 f x在 0 0 x单调递增 在 0 x单调递减 又 0 0 0ff 所以 当 0 x时 0fx 又当0 0 ax 时 a 0 故 f xax 因此 a的取值范围是 0 21 解 1 因为Me过点 A B 所以圆心M 在 AB 的
13、垂直平分线上 由已知 A 在直线 0 x y上 且 A B 关于坐标原点O 对称 所以M 在直线yx上 故可设 M a a 因为Me与直线 2 0相切 所以Me的半径为 2 ra 由已知得 2AO 又MOAO uuu u ruuu r 故可得 22 24 2 aa 解得 0a或 4a 故Me的半径 2r或 6r 2 存在定点 1 0 P 使得 MAMP为定值 理由如下 设 M x y 由已知得Me的半径为 2 2rxAO 由于MOAO u uu u ruu u r 故可得 222 4 2 xyx 化简得 M的轨迹方程为 2 4yx 因为曲线 2 4Cyx是以点 1 0 P为焦点 以直线1x为准
14、线的抛物线 所以 1MPx 因为 2 1 1MAMPrMPxx 所以存在满足条件的定点P 22 解 1 因为 2 2 1 11 1 t t 且 2 2 22 2 22 2 14 1 21 1 ytt x t t 所以 C的直角坐标方程为 2 2 1 1 4 y xx l的直角坐标方程为 23110 xy 2 由 1 可设 C的参数方程为 cos 2sin x y 为参数 C上的点到l的距离为 4cos11 2cos2 3 sin11 3 77 当 2 3 时 4cos11 3 取得最小值 7 故 C上的点到l距离的最小值为7 23 解 1 因为 222222 2 2 2abab bcbc caac 又1abc 故有 222111abbcca abcabbcca abcabc 所以 222 111 abc abc 2 因为 a b c为正数且1abc 故有 333333 3 3 abbccaabbcac 3 a b b c a c 3 2 2 2 abbcac 24 所以 333 24abbcca
