《江苏省苏锡常镇四市2019届高三第二次模拟考试数学Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省苏锡常镇四市2019届高三第二次模拟考试数学Word版含答案.pdf（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019 届高三年级第二次模拟考试 数学 满分 160 分 考试时间120 分钟 一 填空题 本大题共14 小题 每小题5 分 共计70 分 1 已知集合A 0 1 2 B x 1 x0 若 f a 1 1 2 则实数 a 8 中国古代著作 张丘建算经 有这样一个问题 今有马行转迟 次日减半疾 七日 行七百里 意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢 每天行走的里程是前一天的一半 七 天一共行走了700 里 则这匹马在最后一天行走的里程数为 9 已知圆柱的轴截面的对角线长为2 则这个圆柱的侧面积的最大值为 10 设定义在区间0 2 上的函数 y 3 3sin x 的图象与 y 3cos 2x 2 的
2、图象交于点P 则点 P 到 x 轴的距离为 11 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为a b c 已知 5a 8b A 2B 则 sin A 4 12 若在直线l ax y 4a 0 上存在相距为2 的两个动点A B 在圆O x2 y2 1 上存在点 C 使得 ABC 为等腰直角三角形 C 为直角顶点 则实数 a的取值范围是 13 在 ABC 中 已知AB 2 AC 1 BAC 90 D E分别为 BC AD 的中点 过点 E 的直线交 AB 于点 P 交 AC 于点 Q 则 BQ CP 的最大值为 14 已知函数f x x 2 x a g x 2a 1 x aln x 若函数 y
3、f x 与函数y g x 的 图象恰好有两个不同的交点 则实数a的取值范围是 二 解答题 本大题共6 小题 共计 90 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算 步骤 15 本小题满分14 分 如图 在三棱锥DABC 中 已知 AC BC AC DC BC DC E F 分别为 BD CD 的中点 求证 1 EF 平面 ABC 2 BD 平面 ACE 16 本小题满分14 分 已知向量a 2cos 2sin b cos sin cos sin 1 求向量 a 与 b 的夹角 2 若 b a a 求实数 的值 17 本小题满分14 分 某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化 已知空地的一边是直路
4、AB 余下的外围 是抛物线的一段弧 直路AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴 如图 拟在这个空地上划出 一个等腰梯形ABCD区域种植草坪 其中点A B C D 均在该抛物线上 经测量 直路 的 AB 长为 40 米 抛物线的顶点P到直路 AB 的距离为40 米 设点C 到抛物线的对称轴的 距离为 m 米 到直路AB 的距离为n 米 1 求出 n 关于 m 的函数关系式 2 当 m 为多大时 等腰梯形草坪ABCD 的面积最大 并求出其最大值 18 本小题满分16 分 已知椭圆E x 2 a2 y 2 b2 1 a b 0 的离心率为 3 2 焦点到相应准线的距离为 3 3 1 求椭圆 E 的标准方
5、程 2 已知 P t 0 为椭圆 E 外一动点 过点P 分别作直线l1和 l2 直线 l1和 l2分别交椭圆 E 于点 A B 和点 C D 且直线l1和 l2的斜率分别为定值k1和 k2 求证 PA PB PC PD为定值 19 本小题满分16 分 已知函数f x x 1 ln x ax a R 1 若函数 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为x y b 0 求实数a b 的值 2 设函数 g x f x x x 1 e 其中 e 为自然对数的底数 当 a 1 时 求函数g x 的最大值 若函数h x g x ex 是单调减函数 求实数a 的取值范围 20 本小题满分16 分 定义
6、若有穷数列a1 a2 an同时满足下列三个条件 则称该数列为 P数列 首项a1 1 a1 a2 an 对于该数列中的任意两项 ai和 aj 1 i4 且数列b1 b2 bn是 P数列 求证 数列b1 b2 bn是等比数列 2019 届高三年级第二次模拟考试 十一 数学附加题 满分 40 分 考试时间30 分钟 21 选做题 本题包括A B C 三小题 请选定其中两小题 并作答 若多做 则按 作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分10 分 已知 x y R 1 2 是矩阵 A x1 0y 属于特征值 1 的一个特征向量 求矩阵A 的
7、 另一个特征值 B 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分10 分 在极坐标系中 已知直线l sin 3 0 在直角坐标系 原点与极点重合 x 轴的正 方向为极轴的正方向 中 曲线C 的参数方程为 y t 1 4t x t 1 4t t 为参数 设直线 l 与曲线 C 交 于 A B 两点 求AB 的长 C 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分10 分 若不等式 x 1 x a 5 对任意的 x R 恒成立 求实数a的取值范围 必做题 第22 题 第 23 题 每小题 10 分 共计 20 分 解答时应写出文字说明 证 明过程或演算步骤 22 本小题满分10 分 从批量较大的产品中随机取出
8、10 件产品进行质量检测 若这批产品的不合格率为0 05 随机变量X 表示这 10 件产品中的不合格产品的件数 1 问 这 10 件产品中 恰好有2 件不合格的概率P X 2 和 恰好有3 件不合格的 概率 P X 3 哪个大 请说明理由 2 求随机变量X 的数学期望E X 23 本小题满分10 分 已知 f n C 2 4 C 3 6 C36 C48 C48 C510 C n 2n Cn 1 2n 2 g n C 4 4 C 3 6 C56 C48 C68 C 5 10 Cn 2 2n Cn 1 2n 2 其中 n N n 2 1 求 f 2 f 3 g 2 g 3 的值 2 记 h n f
9、 n g n 求证 对任意的m N m 2 总有 2019 届高三年级第二次模拟考试 十一 苏锡常镇 数学参考答案 1 0 2 43 1 0 4 1 2 5 406 3 2 7 log238 700 127 9 2 10 311 172 50 12 3 3 3 3 13 9 4 14 1 15 1 在三棱锥D ABC 中 因为E 为 DC 的中点 F 为 DB 的中点 所以EF BC 3 分 因为 BC平面 ABC EF平面 ABC 所以 EF 平面 ABC 6 分 2 因为 AC BC AC DC BC DC C 所以 AC 平面 BCD 8 分 因为 BD平面 BCD 所以 AC BD 1
10、0 分 因为 DC BC E 为 BD 的中点 所以 CE BD 12 分 因为 AC CE C 所以 BD 平面 ACE 14 分 16 1 设向量 a 与 b 的夹角为 因为 a 2 b cos sin 2 cos sin 2 2 4 分 所以 cos a b a b 2cos 2sin cos sin cos sin 2 2 2cos2 2sin2 2 2 2 2 7 分 因为 0 所以向量a 与 b 的夹角为 4 9 分 2 若 b a a 则 b a a 0 即 b a a2 0 12 分 因为 b a 2 a2 4 所以 2 4 0 解得 2 14 分 17 1 以路 AB 所在的
11、直线为x 轴 抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系 1 分 则点 A 20 0 B 20 0 P 0 40 2 分 因为曲线段APB 为抛物线的一段弧 所以可以设抛物线的解析式为y a x 20 x 20 将点 P 0 40 代入 得40 400a 解得 a 1 10 4 分 所以抛物线的解析式为y 1 10 400 x 2 5 分 因为点 C 在抛物线上 所以 n 1 10 400 m 2 0 m0 6 分 所以 g x 0 函数 g x 在区间 1 e 上单调递增 所以函数g x 的最大值为g e 1 e 8 分 同理 单调增函数g x f x x a a 1 1 e 9 分 则 h
12、x 1 x 1 lnx a 1 e x 1 若 a 0 g x 0 h x 1 1 x lnx a e x h x 1 x2lnx 1 x x 2 1 1 x lnx a ex 1 x x2 lnx ax2 x 1 x 2ex 0 令 u x 1 x x2 lnx ax2 x 1 则 u x 1 2x lnx 1 x 2a 1 x 0 即函数 u x 区间在 1 e 上单调递减 所以 u x max u 1 a 2 0 所以 a 2 11 分 2 若 a e 1 e g x 0 h x 1 1 x lnx a e x 由 1 知 h x u x x2e x 又函数h x 在区间 1 e 上是单
13、调减函数 所以 u x 1 x x 2 lnx ax2 x 1 0 对 x 1 e 恒成立 即 ax2 x 1 1 x x2 lnx 对 x 1 e 恒成立 即 a 1 x 1 x 2 1 x2 1 x 1 lnx 对 x 1 e 恒成立 令 x 1 x 1 x2 1 x 2 1 x 1 lnx x 1 e x 1 x2 2 x 3 2 x3 1 x2 lnx 1 x2 1 x 1 1 x 3 x3 2 x2 1 x 2 x 3 1 x 2lnx 记 x lnx x 1 1 x e 又 x 1 x 1 1 x x 0 所以函数 x 在区间 1 e 上单调递减 故 x max 1 0 即 lnx
14、 x 1 所以 x 3 x 3 2 x 2 1 x 2 x 3 1 x 2lnx 3 x 3 2 x 2 1 x 2 x3 1 x 2 x 1 5 x 3 1 x 2 0 即函数 x 在区间 1 e 上单调递减 所以 x min e 1 e 1 e2 1 e 1 e2 1 lne 1 所以 a x min 1 又 a e 1 e 所以 a e 1 e 13 分 3 若 e 1 e a0 所以函数g x f x x 在区间 1 e 上单调递增 又 g 1 g e a a 1 1 e 0 则存在唯一的x0 1 e 使得 h x0 1 x0 1 lnx 0 a 1 ex0 0 所以函数h x 在区间
15、 1 e 上不单调 15 分 综上 实数a 的取值范围为 1 1 e 2 16 分 20 1 因为 3 5 15 5 3均不在此等差数列中 所以等差数列1 3 5 不是 P 数列 2 分 2 因为数列a b c 6 是 P 数列 所以 1 a b c 6 3 分 由于 6b 或6 b是数列中的项 而 6b 大于数列中的最大项6 所以 6 b是数列中的项 同理 6 c也是数列中的项 5 分 又因为 1 6 c 6 b 6 所以 6 c b 6 b c 所以 bc 6 又 1 b c 所以 1 b 6 7 分 综上 实数b 的取值范围是 1 6 8 分 3 因为数列 bn 是 P数列 所以 1 b
16、1 b2 b3 bn 由于 b2bn或 bn b2是数列中的项 而 b2bn大于数列中的最大项 bn 所以 bn b2是数列 b n 中的项 10 分 同理 bn b3 bn b4 bn bn 1也都是数列 b n 中的项 又因为 1 bn bn 1 bn b2 b n 且 1 bn bn 1 bn b2 b n这 n 个数全是共有n 项的增数列1 b2 bn中的项 所以 bn bn 1 b 2 bn b2 b n 1 从而 bn bibn 1 i i 1 2 n 1 12 分 又因为 bn 1b3 bn 1b2 bn 所以 bn 1b3不是数列 bn 中的项 所以 bn 1 b3 是数列 bn 中的项 同理 bn 1 b4 bn 1 bn 2也都是数列 b n 中的项 因为 1 b n 1 bn 2 bn 1 b4 bn 1 b3 bn b3 b n 2 bn 11 所以 P X 2 P X 3 即恰好有2 件不合格的概率大 6 分 2 因为 P X k pk Ck10pk 1 p 10 k k 0 1 2 10 随机变量X 的概率分布为 X 0 1 2 10 pkC010p0 1
