《2020版高中数学人教B版选修2-2课件：3.2.2 复数的乘法&3.2.3 复数的除法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高中数学人教B版选修2-2课件：3.2.2 复数的乘法&3.2.3 复数的除法（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 2 2复数的乘法3 2 3复数的除法 自我预习 1 复数代数形式的乘法法则 1 法则 已知z1 a bi z2 c di a b c d R 则z1 z2 a bi c di ac bd ad bc i 2 运算律 对于任意的z1 z2 z3 C 有 交换律 z1 z2 结合律 z1 z2 z3 乘法对加法的分配律 z1 z2 z3 z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3 复数的乘方 任意复数z z1 z2和自然数m n 有zm zn zm n z1 z2 n zm n zmn 2 共轭复数的性质与复数的除法法则 1 共轭复数的性质 z z 2 2 2 2 复数除法法则 a
2、bi c di c di 0 思考 1 两个共轭复数的和与积都是实数吗 提示 是实数 设z a bi 则 a bi z 2a z a2 b2 故两个共轭复数的和与积都是实数 2 z2 z 2成立的条件是什么 提示 当且仅当z R时 z2 z 2 自我总结 1 对复数乘法运算的三点说明 1 类比多项式运算 复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似 可仿多项式乘法进行 但结果要将实部 虚部分开 i2换成 1 2 运算律 多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立 乘法公式也适用 3 常用结论 a bi 2 a2 2abi b2 a b R a bi a bi a2 b2 a b R 1 i 2 2i 2
3、复数除法运算的两个关键点 1 实数化 在进行复数除法运算时 通常先把 a bi c di 写成商的形式 即 a bi c di 分子 分母同乘以分母的共轭复数c di 化简后即得结果 这个过程实际上就是把分母实数化 这与根式除法的分母 有理化 很类似 2 代数式 注意最后结果要将实部 虚部分开 知识拓展 复数乘法运算的推广复数的乘法可以推广到若干个因式连乘 且满足乘法的交换律 结合律 分配律 自我检测 1 思维辨析 对的打 错的打 1 两个共轭虚数的和为纯虚数 2 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件 3 若z1 z2 C 且 0 则z1 z2 0 4 两个虚数相乘的结果可能为实数 提
4、示 1 两个共轭虚数的和为实数 2 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的充分条件 3 如z1 1 z2 i 满足 0 但z1 z2 0 4 如z1 1 i z2 1 i z1z2 2为实数 2 复数z 2 i i在复平面内对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 解析 选A z 2 i i 2i i2 1 2i 在复平面内对应的点为Z 1 2 在第一象限 3 复数z 的共轭复数为 z 解析 z 1 i 1 i z 答案 1 i 4 已知复数z 1 i 则 解析 2i 答案 2i 类型一复数的乘法运算 典例 1 已知a b R i是虚数单位 若a i 2 bi 则 a bi
5、 2 A 3 4iB 3 4iC 4 3iD 4 3i 2 已知z1 4 8i z2 6 9i 则z z1 z2 i的实部为 虚部为 解题探究 1 典例1中如何求实数a b的值 提示 利用复数相等的充要条件 2 典例2中 如何求z1 z2 i的结果 提示 应用复数乘法运算法则进行计算 解析 1 选A 因为a i 2 bi 所以a 2 b 1 所以 a bi 2 2 i 2 3 4i 故选A 2 z 4 8i 6 9i i 24 72 36 48 i i 84 48i 答案 84 48 方法技巧 复数的乘法运算法则的应用 1 复数的乘法运算可以把i看作字母 类比多项式的乘法进行 注意要把i2化为
6、 1 进行最后结果的化简 2 对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法 用乘法公式更简便 例如 平方差公式 完全平方公式等 变式训练 1 2018 全国卷 1 i 2 i A 3 iB 3 iC 3 iD 3 i 解析 选D 1 i 2 i 2 i2 i 2i 3 i 2 已知复数z与 z 2 2 8i均是纯虚数 则z 解析 设z bi b R且b 0 则 z 2 2 8i bi 2 2 8i 4 b2 4b 8 i 依题意得解得b 2 所以z 2i 答案 2i 类型二复数的除法运算 典例 1 如图 在复平面内 复数z1 z2对应的向量分别是则复数对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三
7、象限D 第四象限 2 已知z是纯虚数 是实数 求z 世纪金榜导学号 解题探究 1 典例1中z1 z2的形式是什么 提示 由复数的几何意义知z1 2 i z2 i 2 典例2中可如何设z 使运算更简便 提示 设z bi b R且b 0 解析 1 选B 由复数的几何意义知 z1 2 i z2 i 所以 1 2i 对应的点在第二象限 2 设纯虚数z bi b R且b 0 则又是实数 所以b 2 0 即b 2 所以z 2i 延伸探究 1 改变问法 若典例2条件不变 改为 求复数在复平面内对应点的轨迹 如何求解 解析 设 x yi x y R 由例题知消去b得y x 2 x 1 即复数在复平面内对应点的
8、轨迹是一直线 除去一点 2 改变问法 若典例2条件不变 改为求复数的模的取值范围 解析 由例题知所以复数的模的取值范围为 方法技巧 应用复数除法法则的两个步骤 1 分母实数化 分子 分母同乘以分母的共轭复数 转化为复数乘法运算 2 结果化为复数代数形式 类型三共轭复数的性质 典例 1 设i是虚数单位 表示复数z的共轭复数 若z 1 i 则 A 2B 2iC 2D 2i 2 已知复数z 1 i 复数z的共轭复数 1 i 求实数a b使az 2b a 2z 2 世纪金榜导学号 解题探究 1 典例1中z的共轭复数是什么 提示 复数z 1 i的共轭复数是 1 i 2 典例2中如何求a b的值 提示 等
9、号两端分别运算化为一个复数代数形式 再利用复数相等的充要条件列方程组 求a b的值 解析 1 选C 因为z 1 i 所以 1 i 故 i 1 i i 1 i 2i2 2 2 因为z 1 i 1 i 所以az 2b a 2b a 2b i a 2z 2 a 2 2 4 4 a 2 i a2 4a 4 a 2 i 由a b R 及复数相等的充要条件 得 方法技巧 共轭复数的处理技巧当已知条件出现复数等式时 常设出复数的代数形式 利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解 变式训练 求复数z 的共轭复数 解析 z 故 1 2i 补偿训练 复数的共轭复数对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限
10、D 第四象限 解析 选A 因为所以其共轭复数为 对应的点为 故选A 规范答题案例 共轭复数 典例 设z C 为z的共轭复数 若 z iz 求z 错解案例 设z a bi a b R 则 a bi 因为 z iz 所以 a bi a bi i a bi 3 i 即a2 b2 b ai 3 i 所以z 1 i或z 1 2i 正解 设z a bi a b R 则 a bi 因为 z iz 所以 a bi a bi i a bi 3 i 即a2 b2 b ai 3 i 所以z 1 i或z 1 2i 即时应用 计算 1 2 4 i5 6 2i7 7 i11 4 3i 解析 1 i 1 i 1 i i 1009 1 i i 1 2 原式 4 i 6 2i 7 i 4 3i 22 14i 25 25i 47 39i
