《2019-2020学年高中数学课时分层作业24直线与平面的夹角》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学课时分层作业24直线与平面的夹角（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时分层作业课时分层作业 二十四二十四 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 建议用时 60 分钟 基础达标练 一 选择题 1 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 BC1与对角面BB1D1D所成的角是 A C1BB1 B C1BD C C1BD1 D C1BO D 由线面垂直的判定定理 得C1O 平面BB1D1D 所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射 影 所以 C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角 故选 D 2 PA PB PC是由点P出发的三条射线 两两夹角为 60 则PC与平面PAB所成角 的余弦值为 A B 1 2 2 2 C D 3 3 6 3 C 设PC与平面PAB所
2、成的角为 则 cos 60 cos cos 30 得 cos 3 3 3 已知正四棱锥S ABCD的侧棱长与底面边长都相等 E是SB的中点 则AE SD所成 的角的余弦值为 A B C D 1 3 2 3 3 3 2 3 C 令正四棱锥的棱长为 2 建立如图所示坐标系 则 A 1 1 0 D 1 1 0 S 0 0 E 2 1 2 1 2 2 2 AE 1 2 3 2 2 2 SD 1 1 2 cos AE SD AE SD AE SD 3 3 AE SD所成的角的余弦值为 3 3 4 如果 APB BPC CPA 60 则PA与平面PBC所成角的余弦值为 A B C D 1 2 26 26
3、6 3 3 3 D 如图 设A在平面BPC内的射影为O APB APC 点O在 BPC的角平分线上 OPC 30 APO为PA与平面PBC所成的角 cos APC cos APO cos OPC 即 cos 60 cos APO cos 30 cos APO 3 3 5 在正三棱柱ABC A1B1C1中 若AB BB1 则AB1与C1B所成角的大小为 2 A 60 B 90 C 105 D 75 B 建立如图所示的空间直角坐标系 设BB1 1 则A 0 0 1 B1 C1 0 0 6 2 2 2 0 2 B 6 2 2 2 1 AB1 6 2 2 2 1 C1B 6 2 2 2 1 1 0 A
4、B1 C1B 6 4 2 4 AB1 C1B 即AB1与C1B所成角的大小为 90 二 填空题 6 等腰 Rt ABC的斜边AB在平面 内 若AC与 成 30 角 则斜边上的中线CM与 平面 所成的角为 45 作CO O为垂足 连接AO MO 则 CAO 30 CMO为CM与 所成的角 在 Rt AOC中 设 CO 1 则AC 2 在等腰 Rt ABC中 由AC 2 得CM 在 Rt CMO 2 中 sin CMO CO CM 1 2 2 2 CMO 45 7 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 A1B和平面A1B1CD所成的角是 30 连接BC1交B1C于O点 连接A1O 设正方
5、体棱长为a 易证BC1 平面A1B1CD A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影 BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角 在 Rt A1BO中 A1B a BO a 2 2 2 sin BA1O OB A1B 1 2 BA1O 30 即A1B与平面A1B1CD所成角为 30 8 在正四棱锥S ABCD中 O为顶点在底面上的射影 P为侧棱SD的中点 且SO OD 则直线BC与平面PAC所成的角为 30 以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz 设OD SO OA OB OC a 则A a 0 0 B 0 a 0 C a 0 0 P 0 a 2 a 2 从而 2a 0 0 CA a a 0 AP
6、 a a 2 a 2 CB 设平面PAC的一个法向量为n可求得n 0 1 1 则 cos n CB CB n CB n a 2a2 2 1 2 所以 n 60 CB 所以直线BC与平面PAC所成的角为 90 60 30 三 解答题 9 如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为 a 求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值 2 解 取BC中点O B1C1中点O1 连接AO OO1 则AO OC OO1 平面ABC 以O为坐标原点 OC OA OO1所在的直线分别为 x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 则A C1 0 a 0 3 2 a 0 a 22 AC1
7、a 2 3 2 a 2a 取AB中点M 连接CM 则CM AB 平面ABB1A1 平面ABC CM 平面ABB1A1 为平面ABB1A1的一个法向量 CM B M a 2 0 0 a 4 3 4 a 0 又 C a 2 0 0 CM 3 4a 3 4 a 0 cos AC1 CM AC1 CM AC1 CM 3 4a2 3a 3 2 a 1 2 AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为 1 2 10 如图所示 已知点P在正方体ABCD A B C D 的对角线BD 上 PDA 60 1 求DP与CC 所成角的大小 2 求DP与平面AA D D所成角的大小 解 如图 以D为坐标原点 DA为单位长
8、建立空间直角坐标 Dxyz 则 1 0 0 0 0 1 连接BD B D DA CC 在平面BB D D中 延长DP交B D 于H 设 m m 1 m 0 DH 由已知 60 DH DA 由 cos DA DH DA DH DH DA 可得m 解得m 1 2 2 m2 1 2 2 所以 DH 2 2 2 2 1 1 因为 cos DH CC 2 2 0 2 2 0 1 1 1 2 2 2 所以 45 DH CC 即DP与CC 所成的角为 45 2 平面AA D D的一个法向量是 0 1 0 DC 因为 cos DH DC 2 2 0 2 2 1 1 0 1 2 1 2 所以 60 DH DC
9、可得DP与平面AA D D所成的角为 30 能力提升练 1 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为AB C1D1的中点 则A1B1与平面A1EF夹角的 正弦值为 A B 6 2 6 3 C D 6 42 B 建立如图所示的空间直角坐标系 设棱长为 1 则A1 1 0 1 E 1 1 2 0 F B1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 0 设平面A1EF的法向量n x y z A1B1 则Error 即Error 令y 2 则Error n 1 2 1 cos n A1B1 2 6 6 3 即线面角的正弦值为 6 3 2 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PD 底面ABCD 四边形
10、ABCD为正方形 且PD AB 1 G为 ABC的重心 则PG与底面 ABCD所成的角 满足 A 4 B cos 2 34 17 C tan 2 2 3 D sin 3 3 B 建立如图所示的空间直角坐标系 则P 0 0 1 A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 1 0 所以G 又 2 3 2 3 0 PG 2 3 2 3 1 平面ABCD的一个法向量为n 0 0 1 则 cos n 所 PG 1 2 3 2 2 3 2 1 2 3 17 17 以PG与平面ABCD所成角的余弦值为 1 3 17 17 2 2 34 17 3 已知三棱锥S ABC中 底面为边长等于 2 的等边三角形 SA垂直
11、于底面 ABC SA 3 那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 建立如图所示的空间直角坐标系 则S 0 0 3 A 0 0 0 3 4 B 1 0 C 0 2 0 3 1 0 1 3 AB 3 SB 3 0 2 3 SC 设面SBC的法向量为n x y z 则Error 令y 3 则z 2 x n 3 2 33 设AB与平面SBC所成的角为 则 sin n AB n AB 3 3 4 2 3 4 4 如图所示 正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直 则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 取BC的中点O 连接AO DO 建立如图所示的空间直角坐标 15 5 系Oxyz 设BC 1
12、 则A B C D 0 0 所以 0 0 3 2 0 1 2 0 0 1 2 0 3 2 BA 0 1 2 3 2 BD 3 2 1 2 0 CD 3 2 1 2 0 设平面ABD的法向量为n x y z 则Error 所以Error 取x 1 则 y z 1 所以n 1 1 所以 cos n 因此直线CD与平面ABD 33 CD 15 5 所成角的正弦值为 15 5 5 如图所示 四棱锥P ABCD的底面是正方形 PD 底面ABCD 点E在棱PB上 1 求证 AC 平面PDB 2 当PD AB且E为PB的中点时 求AE与平面PDB所成的角的大小 2 解 1 证明 四边形ABCD是正方形 AC BD PD 底面ABCD PD AC PD BD D AC 平面PDB 2 建立如图所示的空间直角坐标系 设AB 1 则A 1 0 0 C 0 1 0 E 1 2 1 2 2 2 AE 1 2 1 2 2 2 由 1 知 1 1 0 为平面PDB的一个法向量 AC 设AE与平面PDB所成的角为 则 sin cos AC AE AC AE AC AE 1 2 1 2 2 AE与平面PDB所成的角为 45
