《全国高中数学联赛试题分类汇编： 13平面几何》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛试题分类汇编： 13平面几何（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1981 年年 2019 年全国高中数学联赛二试试题分类汇编年全国高中数学联赛二试试题分类汇编 平面几何部分平面几何部分 2019A2019A 一 一 本题满分 本题满分 4040 分 分 如图 在锐角中 是边的中点 点在ABC MBCP 内 使得平分 直线与 的外接圆分别相交于不同于ABC APBAC MPABP ACP 点的两点 P D E 证明 若 则 DEMP 2BCBP 证明 证明 延长到点 使得 连接 PMFMFME BF BD CE 由条件可知 10 分 BDPBAPCAPCEPCEM 因为 且 所以 且 BMCM EMFM BFCE BFCE 于是 进而 20 分 FCEMBD
2、P BDBF 又 故 DEMP DPEMFM 于是在等腰中 由对称性得 从BDF BPBM 而 40 分22BCBMBP 2019B2019B三 三 本题满分 本题满分 5050 分 分 如图 点在一条直线上顺次排列 满足 A B C D EBCCDABDE 点在该直线外 满足 点分别在线段上 满足PPBPD K L PB PD 平分 平分 KCBKE LCALD 证明 四点共圆 答题时请将图画在答卷纸上 答题时请将图画在答卷纸上 A K L E 证明 证明 令 由条件知 1AB BCCDt 0t 2 DEt 注意到 可在延长线上取一点 0 180BKEABKPDEDEK CB A 使得 10
3、 分 A KEABKA BK 此时有 故 20 分 A BKA KE A BA KBK A KA EKE 又平分 故 于是有KCBKE 2 1 1 BKBCt KECEttt 30 分 2 2 1 21 A BA BA KBKAB A EA KA EKEttAE 由上式两端减 1 得 从而与重合 BEBE A EAE A A 因此 AKEA KEABK 同理可得 而 所以 ALEEDL ABKEDL AKEALE 因此四点共圆 50 A K L E 2018A 二 二 本题满分 40 分 如图所示 为锐角三角形 为边的中点 点和分别为ABC ACAB MBCDE 的外接圆弧和的中点 为内切圆在
4、边上的切点 为与ABC BACBCFABC ABGAE 的交点 在线段上 满足 BCNEFABNB 证明 若 则 答题时请将图画在答卷纸上 EMBN FGDF 证明 证明 由条件知 为外接圆的直径 于 记为DEABC BCDE MADAE I 的内心 则在上 由可知 ABC IAEABIF ABNB MEIADEADEABNABENBE 000 9090 180 又根据内心性质 有EIBABIEABABIEACCBIEBCEBI 从而 结合 所以 EIBE EMBN MEINBE 于是 故四点共圆 EFIBFEBNEEMI 00 18090MIFE 进而可知 故四点共圆 AGMIEMIFMAF
5、M 00 9090MGFA 再由知 四点共圆 所以五点共圆 从 0 90 DMGDAGDMGA DMGFA 而 即 0 90 DAGDFGFGDF 2018B 二 二 本题满分 40 分 如图所示 在等腰中 边上一点ABC ACAB AC 及延长线上一点满足 以为直径的圆与线段交于一点 DBCE CE BC DC AD 2 AB DEF 证明 四点共圆 答题时请将图画在答卷纸上 DFCB 证明证明 取中点 则由知 故在圆上 延长至 使得BCHACAB BCAH H FDG 结合已知条件得 故 BCAG CE BC DC AD CE AG 2 CHBHBCAG 2 1 从而为矩形 为平行四边形
6、AGBHAGHC 由为矩形知 在圆上 故 AGBHG HBFHGF 又为平行四边形 由 得 AGHCGHAC HGFCDF 所以 所以四点共圆 CDFHBFCBF DFCB 2017A 一 一 本题满分 40 分 如图所示 在中 为的内心 以ABC ACAB IABC 为圆心 为半径作圆 以为圆心 为半径作圆 过点的圆与 AAB 1 IIB 2 IB 3 1 分别交于点 不同于点 设与交于点 证明 答题时请 2 PQBIPBQRCRBR 将图画在答卷纸上 证明 证明 连接 由于点点在圆上 PCPBIQICIB Q 2 故 所以 IQIB IQBIBQ 又四点共圆 所以 于是 QPIB IQBI
7、PB IPBIBQ 故 从而 且 IBP IRB IBPIRB IB IP IR IB 又 且为的内心 故 所以ACAB IABC ICIB IC IP IR IC 所以 则ICP IRC ICPIRC 又点在圆的弧上 故 P 1 BCABPC 2 1 1800 因此 ICPIBPIRCIRBBRC BPCBIC 0 360 即 0000 90 2 1 180 2 1 90360 AACRBR 2017B 三 三 本题满分 50 分 如图 点是锐角的外接圆上弧的中点 直线DABC BC 与圆过点的切线分别相交于点 与的交点为 与的交点DA CB QP BQACXCPAB 为 与的交点为 求证
8、平分线段 答题时请将图画在答卷纸上 YBQCPTATXY 证明 证明 首先证明 即证 YXBC AXAY XCYB 连接 因为 BD CD ACQACQ ABC ABCABPABP SS S SSS 所以 111 sinsinsin 222 111 sinsinsin 222 AC CQACQACBCACBACAQCAQ AB BCABCAB BPABPABAPBAP 由题设 是圆的切线 所以 又 BP CQ ACQABC ACBABP 注意是弧的中点 于是由 知CAQDBCDCBBAP DBC ABAQCQ ACAPBP 因为 所以 CAQBAP BAQCAP 于是 1 sin 2 1 si
9、n 2 ABQ ACP ABAQBAQ S ABAQ SACAP ACAPCAP 而 1 sin 2 1 sin 2 BCQ BCP BC CQBCQ S CQ SBP BCBPCBP 由 得 即 ABQCBQ ACPBCP SS SS ABQ ACP CBQBCP S S SS 又 故 ABQ CBQ S AX SXC ACP BCP SAY SYB AXAY XCYB 设边的中点为 因为 BCM1 AXCMBY XCMBYA 所以由塞瓦定理知 三线共点 交点即为 故由可得平分线 AM BX CYT YXBCAT 段XY 2016A 二 二 本题满分 40 分 如图所示 在中 是直线上两点A
10、BC YX BC 顺序排列 使得 设 的外心分别为 YCBX ABCYACBX ACX ABY 1 O 直线与 分别交于点 证明 是等腰三角形 2 O 1 O 2 OABACVU AUV 证明 证明 作的内角平分线交于点 设BAC BCPACX 的外接圆分别为和 由角平分线定理知 ABY 1 2 AC AB CP BP 又条件可得 AC AB CY BX 从而 即 CP BP AC AB CPCY BPBX PY PX PYBPPXCP 故对圆和的幂相等 所以在圆和的根轴上 P 1 2 P 1 2 于是 这表明点关于直线对称 21O OAP VU AP 从而是等腰三角形 AUV 2015A 三
11、 三 本题满分 50 分 如图所示 内接于圆 ABC O 为弧上一点 点在线段AP上 使得BK平分 PBCKABC 过三点的圆与边交于点 连接交圆于CPK ACDBD 点 连接并延长与边交于点 EPEABF 证明 FCBABC 2 证明 证明 证法一证法一 设 CF 与圆 Q 交于点 L 异于 C 连接 PB PC BL KL 注意此时 C D L K E P 六点均在圆上 结合 A B P C 四点共圆 可知 FEB DEP 180 DCP ABP FBP 因此 FBE FPB 故 FB2 FE FP 10 分 又由圆幂定理知 FE FP FL FC 所以 FB2 FL FC 从而 FBL
12、FCB 因此 FLB FBC APC KPC FLK 即 B K L 三点共线 30 分 再根据 FBL FCB 得 FCB FBL ABC 即 ABC 2 FCB 1 2 证法二 证法二 设 CF 与圆交于点 L 异于 C 对圆内接广义六边 形 DCLKPE 应用帕斯卡定理可知 DC 与 KP 的交点 A CL 与 PE 的交点 F LK 与 ED 的交点了共线 因此 B 是 AF 与 ED 的交点 即 B B 所以 B K L 共线 10 分 根据 A B P C 四点共圆及 L K P C 四点共圆 得 ABC APC FLK FCB LBC 又由 BK 平分 ABC 知 FBL ABC
13、 从而 1 2 ABC 2 FCB 2015B 二 二 本题满分 40 分 如图 在等腰中 设为其内心 设为ABC ACAB ID 内的一个点 满足四点共圆 过点作的平行线 与的延长线交ABC DCBI CBDAD 于 求证 ECEBDCD 2 证明 证明 连接 BI CI 设 I B C D 四点在圆 O 上 延长 DE 交圆 O 于 F 连接 FB FC 因为 BD CE 所以 DCE 180 BDC BFC 又由于 CDE CDF CBF 所以 BFC DCE 从而 DCBF CEFC 再证明 AB AC 与圆 O 相切 事实上 因为 ABI ABC ACB ICB 1 2 1 2 所以
14、 AB 与圆 O 相切 同理 AC 与圆 O 相切 20 分 因此有 ABD AFB ACD AFC 故 BDABACDC BFAFAFCF 即 30 分 BFBD FCDC 结合 得 DCBD CEDC 即 40 分 2 CDBD CE 2016B 三 三 本题满分 50 分 如图所示 是平行四边形 是的重心 点ABCDGABD 在直线上 使得 证明 平分QP BDPCGP QCGQ AGPAQ 证明 证明 连接 与交于点由平行四边形ACBD M 的性质 点是的中点 因此 M AC BD 点在线段上 由于 GAC90GPCGQC 所以四点共圆 并且其外接圆是以为直径的圆 P G Q CGC
15、由相交弦定理知 PM MQGM MC 取的中点注意到故有GC O 2 1 3 AG GM MC 1 2 OCGCAG 因此关于点对称 于是 G OM GM MCAM MO 结合 有 因此四点共圆 PM MQAM MO A P O Q 又所以 即平分 1 2 OPOQGC PAOQAO AG PAQ 2014A 二 二 本题满分 40 分 如图所示 锐角中 过点分别作ABC 0 60 BACCB 的外接圆的切线 且满足 直线与的延长ABC O CEBD BCCEBD DEACAB 线分别交于点 设与交于点 与交于点 证明 GF CFBDMCEBGNANAM 证明 证明 如图 设两条切线交于点 则
16、 结合可知CEBD KCKBK CEBD 作的平分线交于点 连接 BCDE BAC ALBCLLNLM 由知 故与相似 BCDE DFBABC BACDBCFDB ABC DFB 由此并结合 及内角平分线定理可得 BCDE BCBD 因此 同理可得 LB LC AB AC FD BD FD BC MF MC BFLM CGLN 由此得BALABLALBBLMALBALM 0 180 ALNCLNALCACLALCCAL 0 180 在结合及内角平分线定理得FGBC 即1 AC AB BL CL BL BC AC AB BC CL LN CG CG BF BF LM LN LM LNLM 故由 得ALAL ALNALM LNLM ALNALM 所以ANAM 另证 记的三个内角分别为其对边分别为ABC CBA cba 由于和都是的切线 故 再由 可得四边BDEC ECBBACDBC CEBD 形是等腰梯形 从而 BCEDBCDE 由于 故 BABCBFD ABACDBCFDB DFB ABC 得 即 b a b BD c FD b ac FD 由 可得 即 FDBC c b FD BC M
