《通用版2020版高考数学大二轮复习能力升级练二十圆锥曲线综合问题2理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《通用版2020版高考数学大二轮复习能力升级练二十圆锥曲线综合问题2理（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、能力升级练能力升级练 二十二十 圆锥曲线综合问题圆锥曲线综合问题 2 2 1 1 2019 广西南宁市第三中学 柳州市高级中学联考 如图 椭圆C 1 a b 0 的顶点为 x2 a2 y2 b2 A1 A2 B1 B2 左右焦点分别为F1 F2 A1B1 3 S A1B1A2B2 2S B1F1B2F2 1 求椭圆C的方程 2 过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A B两点 试探究在x轴上是否存在定点Q 使得为 QA QB 定值 若存在 求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 由 A1B1 得a2 b2 3 3 由 得 2a 2b 2c 2b 即a c S A1B1A2B2 2S B1F1
2、B2F2 1 2 2 22 又a2 b2 c2 由 得a2 2 b2 1 椭圆C的方程为 y2 1 x2 2 2 当直线l的斜率不为 0 或不存在时 设A x1 y1 B x2 y2 Q x0 0 直线l的方程为x my 1 由得 m2 2 y2 2my 1 0 x my 1 x2 2 y2 1 y1 y2 2m m2 2 y1 y2 1 m2 2 x1 x0 x2 x0 y1y2 my1 1 my2 1 QA QB x0 my1 my2 2 y1y2 m2 1 y1 y2 m y1 y2 1 x0 2x0 1 m2 1 m 1 x0 x2 0 x2 0 1 m2 2 2m m2 2 x2 0
3、 2x0 1 2x0 1 2x0 3 m2 1 m2 2 x2 0 由 得x0 2x0 3 1 1 2 5 4 故此时点Q 0 5 4QA QB 7 16 当直线l的斜率为 0 时 QA QB 5 4 2 2 2 7 16 综上所述 在x轴上存在定点Q 0 使得为定值 5 4QA QB 2 2 如图 A m m B n n 两点分别在射线OS OT上移动 且 O为坐标原点 动点P满 33OA OB 1 2 足 OP OA OB 1 求点P的轨迹C的方程 2 设Q 过Q作 1 中曲线C的两条切线 切点分别为M N 求证 直线MN过定点 若 x0 1 2 7 求x0的值 OM ON 解 1 由已知
4、得 3mn mn OA OB 1 2 即mn 1 4 设点P坐标为 x y y 0 由 得 x y m m n n n m m n OP OA OB333 消去m n 可得y2 1 y 0 x 3 n m y m n x2 3 轨迹C的方程为y2 1 y 0 x2 3 2 由 1 知 y 即y 1 x2 3 x 31 x2 3 设M x1 y1 N x2 y2 则kQM kQN x1 3 1 x21 3 x1 3y1 x2 3 1 x22 3 x2 3y2 lQM y x x1 y1 x1 3y1 即lQM x1x 3y1y 3 0 Q在直线QM上 x0 x1 y1 3 0 3 2 同理可得x
5、0 x2 y2 3 0 3 2 由 可知 lMN x0 x y 3 0 3 2 直线MN过定点 0 2 由以上可知 设直线MN的方程为y kx 2 易知k 且 k 0 的焦点为F M 2 y0 是抛物线 C上一点 且 MF 2 1 求抛物线C的方程 2 过点F的直线与抛物线C相交于A B两点 分别过A B两点作抛物线C的切线l1 l2 两条切线相 交于点P 点P关于直线AB的对称点Q 判断四边形PAQB是否存在外接圆 如果存在 求出外接圆面 积的最小值 如果不存在 请说明理由 解 1 根据题意知 4 2py0 因为 MF 2 所以y0 2 p 2 联立 解得y0 1 p 2 所以抛物线C的方程
6、为x2 4y 2 四边形PAQB存在外接圆 设直线AB方程为y kx 1 代入x2 4y中 得x2 4kx 4 0 设点A x1 y1 B x2 y2 则 16k2 16 0 且x1 x2 4k x1x2 4 所以 AB x1 x2 4 k2 1 1 k2 因为C x2 4y 即y 所以y x2 4 x 2 因此 切线l1的斜率为k1 切线l2的斜率为k2 x1 2 x2 2 由于k1k2 1 所以PA PB 即 PAB是直角三角形 x1x2 4 所以 PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点 线段AB是圆的直径 所以点Q一定在 PAB的外接圆上 即四边形PAQB存在外接圆 又因为 AB 4 k2
7、 1 所以当k 0 时 线段AB最短 最短长度为 4 此时圆的面积最小 最小面积为 4 4 4 已知椭圆G的离心率为 其短轴两端点为A 0 1 B 0 1 2 2 1 求椭圆G的方程 2 若C D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点 直线AC BD与x轴分别交于点M N 判断以MN为 直径的圆是否过点A 并说明理由 解 1 由已知可设椭圆G的方程为 1 a 1 x2 a2 y2 1 由e 可得e2 解得a2 2 2 2 a2 1 a2 1 2 所以椭圆的标准方程为 y2 1 x2 2 2 方法一 设C x0 y0 且x0 0 则D x0 y0 因为A 0 1 B 0 1 所以直线AC的方程为y
8、x 1 y0 1 x0 令y 0 得xM 所以M x0 y0 1 x0 y0 1 0 同理 直线BD的方程为y x 1 求得N y0 1 x0 x0 y0 1 0 AM x0 1 y0 1 AN x0 1 y0 1 所以 1 AM AN x2 0 1 y2 0 由C x0 y0 在椭圆G y2 1 上 x2 2 所以 2 1 x2 0 y2 0 所以 1 0 所以 MAN 90 所以以线段MN为直径的圆不过点A AM AN 方法二 因为C D关于y轴对称 且B在y轴上 所以 CBA DBA 因为N在x轴上 又A 0 1 B 0 1 关于x轴对称 所以 NAB NBA CBA 所以BC AN 所以 NAC 180 ACB 设C x0 y0 且x0 0 则 2 1 x2 0 y2 0 因为 x0 1 y0 x0 1 y0 1 0 所以 ACB 90 所以 NAC 90 CA CB x2 0 y2 0 1 2x 2 0 所以以线段MN为直径的圆不过点A
