《2020数学（理）二轮教师用书：第2部分 专题6 第2讲 导数的简单应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020数学（理）二轮教师用书：第2部分 专题6 第2讲 导数的简单应用（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2讲导数的简单应用做小题激活思维1(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_y3x因为y3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率ky|x03，所以所求的切线方程为y3x.2.设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是以下选项中的()C由题图知，当x0时，f(x)0，所以yf(x)在(，0)上单调递增因为当0x2时，f(x)0，所以yf(x)在(0,2)上单调递减又当x2时，f(x)0，所以yf(x)在(2，)上单调递增3函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1B
2、(0,1C1，)D(0，)B函数定义域为(0，)，由yx0得，0x1，故选B.4若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，1C2，)D1，)Df(x)k，由题意知k0，即k在(1，)上恒成立，又当x(1，)时，01，所以k1，故选D.5函数f(x)x34xm在0,3上的最大值为4，则m的值为()A7 B.C3D4Df(x)x24，x0,3，f(x)0时，x2，f(x)0时，0x2，f(x)0时，2x3.所以f(x)在0,2)上是减函数，在(2,3上是增函数又f(0)m，f(3)3m.所以在0,3上，f(x)maxf(0)4，所以m4，故选D.6已知f
3、(x)x3ax2bxa2在x1处的极值为10，则ab等于()A0或7B7C0D7B因为f(x)3x22axb，所以f(1)32ab0，f(1)1aba210，由得或而要在x1处取到极值，则4a212b0，故舍去所以只有所以ab7，故选B.扣要点查缺补漏1导数的几何意义(1)f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率(2)函数yf(x)在点xx0处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，如T1.2导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单
4、调递减如T2.(2)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.如T3.(3)若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解如T4.3导数与函数的极值、最值(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点如T5.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当xx0时，函数取得极值，在x0处，f(x0)0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件(3)一般地，在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么函数yf(x)在a，b上必有最大
5、值与最小值，函数的最值必在极值点或区间的端点处取得如T6.导数的运算及其几何意义(5年11考)高考解读以导数的几何意义为载体，考查曲线切线方程的求法，注意方程思想的应用及复合函数的求导问题.1一题多解(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2xDyxD法一：(直接法)因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20，因为xR，所以a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲
6、线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.法二：(特值法)因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(1)f(1)0，所以1a1a(1a1a)0，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.2(2011大纲版高考)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A BCD1A由题意，得：y(e2x1)e2x(2x)2e2x，则在点(0,2)处的切线斜率为k2e02，切线方程为y2x2.联立得C.与y0和yx围成三角形的面积为SOBCOB1.3(2016全国卷)若
7、直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.1ln 2求得(ln x2)，ln(x1).设曲线yln x2上的切点为(x1，y1)，曲线yln(x1)上的切点为(x2，y2)，则k，所以x21x1.又y1ln x12，y2ln(x21)ln x1，所以k2，所以x1，y1ln22ln 2，所以by1kx12ln 211ln 2.与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)
8、，则切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.1(考查导数的运算)设函数f(x)fx22xf(1)ln x，曲线f(x)在(1，f(1)处的切线方程是()A5xy40B3xy20Cxy0Dx1Af(x)fx22xf(1)ln x，f(x)2fx2.令x得f2f22f(1)，即f(1)1.又f(1)f2，f3，f(1)2f2f(1)6215.曲线在点(1，f(1)处的切线方程为y15(x1)，即5xy40，故选A.2(与不等式交汇)若曲线yx32x22在点A处的切线方程为y4x6，且点A在直线mxny10(其中m0，n0)上，则的最小值为()A4B3
9、2C64D8C设A(s，t)，yx32x22的导数为y3x24x，可得切线的斜率为3s24s，切线方程为y4x6，可得3s24s4，t4s6，解得s2，t2或s，t.由点A在直线mxny10(其中m0，n0)，可得2m2n1，则(2m2n)2264，当且仅当nm时，取得最小值64，故选C.3(求切点的坐标)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为_(1,1)函数yex的导函数为yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01.设P(x0，y0)(x00)，函数y的导函数为y，曲线y(x0)在点P处的切线的斜率k2，由题意知k1k21，即11，
10、解得x1，又x00，x01.又点P在曲线y(x0)上，y01，故点P的坐标为(1,1)4(与圆锥曲线交汇)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_4由已知可设P(4，y1)，Q(2，y2)，点P，Q在抛物线x22y上，P(4,8)，Q(2,2)又抛物线可化为yx2，yx.过点P的切线斜率为y|x44.过点P的切线为y84(x4)，即y4x8.又过点Q的切线斜率为y|x22，过点Q的切线为y22(x2)，即y2x2.联立得点A的纵坐标为4.利用导数研究函数的单调性(5年4考)高考解读以函数的单调性为载体，融一元
11、二次不等式的解法、分类讨论思想、函数、方程、不等式的关系于一体，考查学生对知识的灵活应用能力，有一定的难度. (2018全国卷节选)已知函数f(x)xaln x.讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)，且f(x)1.()若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时f(x)0，所以f(x)在(0，)单调递减()若a2，令f(x)0，得x或x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在，单调递减，在单调递增利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域(2)求导函数f(x)(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0即可
12、；若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解(4)含参数讨论单调性常见的四个方面讨论如f(x).二次系数的讨论根的有关讨论，“”讨论根大小讨论根在不在定义域内讨论1(借助单调性比较大小)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)恒成立，若x1x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()Aex1f(x2)ex2f(x1)Bex1f(x2)ex2f(x1)Cex1f(x2)ex2f(x1)Dex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定A设g(x)，则g(x)，由题意知g(x)0，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)g(x2)，即，所以ex1f(x2)ex2f(x1)2(借助单调性解不等式)已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，且满足f(1)0.当x0时，xf(x)2f(x)，则使得f(x)0成立的x的取值范围是( )A(，1)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(0,1)D(1,0)(1，)C令g(x)，g(x)，又g(1)0，当x0时，xf(x)2f(x)，即g(x)0，
