《2020数学（文）二轮教师用书：第2部分 专题7 第1讲 选修4－4 坐标系与参数方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020数学（文）二轮教师用书：第2部分 专题7 第1讲 选修4－4 坐标系与参数方程（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 讲 选修 4 4 坐标系与参数方程 做小题 激活思维 1 在伸缩变换Error Error 下 x2 y2 1 对应的图形是 答案 椭圆 2 若直线的极坐标方程为 sin 则点 A到这条直线的距离 4 2 2 2 7 4 是 答案 2 2 3 已知曲线的参数方程为Error Error t 为参数 若点 6 a 在该曲线上 则 a 答案 9 4 若点 M 在椭圆 1 上 则点 M 到直线 x 2y 10 0 的距离的最小 x2 9 y2 4 值为 答案 5 扣要点 查缺补漏 1 曲线的极坐标方程 1 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式 x cos y sin 2 x2
2、 y2 tan x 0 要注意 的取值范围及其影响 灵 y x 活运用代入法和平方法等技巧 2 由极坐标方程求曲线交点 距离等几何问题时 如果不能直接用极坐标解 决 可先转化为直角坐标方程 然后求解 如 T2 2 1 过定点 P0 x0 y0 倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为Error Error t 为参数 t 的几何意义是的数量 即 t 表示 P0到 P 的距离 t 有正负之分 使 P0P 用该式时直线上任意两点 P1 P2对应的参数分别为 t1 t2 则 P1P2 t1 t2 P1P2的中点对应的参数为 t1 t2 1 2 2 参数方程化为普通方程 由参数方程化为普通方程就是要消去参
3、数 消参 数时常常采用代入消元法 加减消元法 乘除消元法 三角代换法 且消参数时 要注意参数的取值范围对 x y 的限制 如 T3 3 在与直线 圆 椭圆有关的题目中 参数方程的使用会使问题的解决事半 功倍 尤其是求取值范围和最值问题 可将参数方程代入相关曲线的普通方程中 根据参数的取值条件求解 如 T4 极坐标与曲线的极坐标方程 5 年 4 考 高考解读 极坐标方程是每年高考的必考内容 既有单独考查也与参数方 程综合考查 难度不大 考查考生的逻辑推理和数学运算的核心素养 2019 全国卷 如图 在极坐标系 Ox 中 A 2 0 B C D 2 弧 所在圆的圆心 2 4 2 3 4 AB BC
4、 CD 分别是 1 0 1 曲线 M1是弧 曲线 M2是弧 曲线 M3是弧 1 2 AB BC CD 1 分别写出 M1 M2 M3的极坐标方程 2 曲线 M 由 M1 M2 M3构成 若点 P 在 M 上 且 OP 求 P 的极坐 3 标 切入点 A B C D 的极坐标及 所在圆的圆心 AB BC CD 关键点 确定 M1 M2 M3的方程 解 1 由题设可得 弧 所在圆的极坐标方程分别为 2cos AB BC CD 2sin 2cos 所以 M1的极坐标方程为 2cos M2的极坐标方程为 0 4 2sin M3的极坐标方程为 2cos 4 3 4 3 4 2 设 P 由题设及 1 知
5、若 0 则 2cos 解得 43 6 若 则 2sin 解得 或 4 3 43 3 2 3 若 则 2cos 解得 3 43 5 6 综上 P 的极坐标为或或或 3 6 3 3 3 2 3 3 5 6 教师备选题 2017 全国卷 在直角坐标系 xOy 中 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系 曲线 C1的极坐标方程为 cos 4 1 M 为曲线 C1上的动点 点 P 在线段 OM 上 且满足 OM OP 16 求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程 2 设点 A 的极坐标为 点 B 在曲线 C2上 求 OAB 面积的最大值 2 3 解 1 设点 P 的极坐标为 0 点 M 的极坐
6、标为 1 1 0 由题设知 OP OM 1 4 cos 由 OM OP 16 得 C2的极坐标方程 4cos 0 因此 C2的直角坐标方程为 x 2 2 y2 4 x 0 2 设点 B 的极坐标为 B B 0 由题设知 OA 2 B 4cos 于是 OAB 的面积 S OA B sin AOB 4cos 1 2 sin 3 2 2 sin 2 3 3 2 3 当 时 S 取得最大值 2 123 所以 OAB 面积的最大值为 2 3 1 求曲线的极坐标方程的一般思路 求曲线的极坐标方程问题通常可利用互化公式转化为直角坐标系中的问题求 解 然后再次利用互化公式既可转化为极坐标方程 熟练掌握互化公式
7、是解决问 题的关键 2 解决极坐标问题的一般思路 一是将极坐标方程化为直角坐标方程 求出交点的直角坐标 再将其化为极 坐标 二是将曲线的极坐标方程联立 根据限制条件求出极坐标 1 极径的应用 在直角坐标系 xOy 中 直线 l1 x 0 圆 C x 1 2 y 1 2 1 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 2 1 求直线 l1和圆 C 的极坐标方程 2 若直线 l2的极坐标方程为 R 设 l1 l2与圆 C 的公共点分别为 4 A B 求 OAB 的面积 解 1 x cos y sin x2 y2 2 直线 l1的极坐标方程为 cos 0 即 R 2 圆 C 的极坐标方程为
8、2 2 cos 2 1 sin 3 2 0 22 2 将 代入 2 2 cos 2 1 sin 3 2 0 222 得 2 2 1 3 2 0 解得 1 1 222 将 代入 2 2 cos 2 1 sin 3 2 0 422 得 2 2 1 3 2 0 解得 2 1 222 故 OAB 的面积为 1 2 sin 1 1 22 4 3 2 4 2 极角的应用 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的方程为 x 2 2 y2 4 直线 l 的方程为 x y 12 0 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为 3 极轴建立极坐标系 1 分别写出曲线 C 与直线 l 的极坐标方程 2 在极坐标系中 极角
9、为 的射线 m 与曲线 C 直线 l 分别交 0 2 于 A B 两点 A 异于极点 O 求的最大值 OA OB 解 1 由 x cos y sin 得曲线 C 的极坐标方程为 4cos 直线 l 的极坐标方程为 cos sin 12 0 3 2 由题意得 OA 4cos 因为 cos sin 12 0 所以 OB 3 所以 sin 因为 12 cos 3sin OA OB cos cos 3sin 3 1 6 1 3 2 6 所以 2 所以 sin 所以的最大值 0 2 6 6 7 6 2 6 1 2 1 OA OB 为 此时 1 2 6 参数方程及其应用 5 年 3 考 高考解读 参数方程
10、是每年高考的必考内容 既有单独考查 也与极坐标 综合考查 难度适中 主要考查参数方程与普通方程的互化以及逻辑推理和数学 运算核心素养 2018 全国卷 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的参数方程为Error Error 为参数 直线 l 的参数方程为Error Error t 为参数 1 求 C 和 l 的直角坐标方程 2 若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 1 2 求 l 的斜率 切入点 参数方程化普通方程 关键点 正确用参数方程表示弦的中点的坐标 解 1 曲线 C 的直角坐标方程为 1 x2 4 y2 16 当 cos 0 时 l 的直角坐标方程为 y tan x 2 tan
11、 当 cos 0 时 l 的直角坐标方程为 x 1 2 将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程 整理得关于 t 的方程 1 3cos2 t2 4 2cos sin t 8 0 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 1 2 在 C 内 所以 有两个解 设为 t1 t2 则 t1 t2 0 又由 得 t1 t2 故 2cos sin 0 于是直线 l 的斜率 4 2cos sin 1 3cos2 k tan 2 教师备选题 2018 全国卷 在平面直角坐标系 xOy 中 O 的参数方程为Error Error 为参 数 过点 0 且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A B 两点 2 1
12、求 的取值范围 2 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 解 1 O 的直角坐标方程为 x2 y2 1 当 时 l 与 O 交于两点 2 当 时 记 tan k 则 l 的方程为 y kx l 与 O 交于两点当且仅当 22 1 解得 k1 即 或 2 1 k2 4 2 2 3 4 综上 的取值范围是 4 3 4 2 l 的参数方程为 Error Error t 为参数 4 3 4 设 A B P 对应的参数分别为 tA tB tP 则 tP 且 tA tB满足 tA tB 2 t2 2tsin 1 0 2 于是 tA tB 2sin tP sin 22 又点 P 的坐标 x y 满足Erro
13、r Error 所以点 P 的轨迹的参数方程是 Error Error 为参数 4 3 4 参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用 1 将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程 常用的消参方法有 代入消参 三角恒等式消参等 往往需要对参数方程进行变形 为消去参数创造 条件 2 在与直线 圆 椭圆有关的题目中 参数方程的使用会使问题的解决事半 功倍 尤其是求取值范围和最值问题 可将参数方程代入相关曲线的普通方程中 根据参数的取值条件求解 1 椭圆的参数方程 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的参数方程为Error Error 为参数 直线 l 的参数方程为Error Error t 为
14、参数 1 若 a 1 求 C 与 l 的交点坐标 2 若 C 上的点到 l 距离的最大值为 求 a 17 解 1 曲线 C 的普通方程为 y2 1 x2 9 当 a 1 时 直线 l 的普通方程为 x 4y 3 0 由Error Error 解得Error Error 或Error Error 从而 C 与 l 的交点坐标为 3 0 21 25 24 25 2 直线 l 的普通方程为 x 4y a 4 0 故 C 上的点 3cos sin 到 l 的距 离为 d 3cos 4sin a 4 17 当 a 4 时 d 的最大值为 a 9 17 由题设得 a 9 1717 所以 a 8 当 a0
15、在以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 C2 4cos 1 说明 C1是哪一种曲线 并将 C1的方程化为极坐标方程 2 直线 C3的极坐标方程为 0 其中 0满足 tan 0 2 若曲线 C1与 C2的 公共点都在 C3上 求 a 解 1 消去参数 t 得到 C1的普通方程为 x2 y 1 2 a2 则 C1是以 0 1 为圆心 a 为半径的圆 将 x cos y sin 代入 C1的普通方程中 得到 C1的极坐标方程为 2 2 sin 1 a2 0 2 曲线 C1 C2的公共点的极坐标满足方程组 Error Error 若 0 由方程组得 16cos2 8sin cos 1
16、 a2 0 由已知 tan 2 可得 16cos2 8sin cos 0 从而 1 a2 0 解得 a 1 舍去 或 a 1 当 a 1 时 极点也为 C1 C2的公共点 且在 C3上 所以 a 1 解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法 1 对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下 我们可以先化成直角 坐标系下的普通方程 这样思路可能更加清晰 2 对于一些运算比较复杂的问题 用参数方程计算会比较简洁 3 利用极坐标方程解决问题时 要注意题目所给的限制条件及隐含条件 1 参数几何意义的应用 在平面直角坐标系 xOy 中 已知直线 l 的参数方程 为Error Error t 为参数 在以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 且与直角坐 标系长度单位相同的极坐标系中 曲线 C 的极坐标方程是 2sin 2 4 1 求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程 2 设点 P 0 1 若直线 l 与曲线 C 相交于 A B 两点 求 PA PB 的 值 解 1 将直线 l 的参数方程消去参数 t 并化简 得直线 l 的普通方程为x y 1 0 3 曲线 C 的极坐标方程可化为
