《2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练：（十三） 立体几何》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练：（十三） 立体几何（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题强化训练 十三 立体几何 一 选择题 1 2019 南昌重点中学 一个几何体挖去部分后的三视图如图所 示 若其正视图和侧视图都是由三个边长为 2 的正三角形组成的 则该几何体的表面积为 A 13 B 12 C 11 D 2 3 解析 依题意 题中的几何体是从一个圆台 该圆台的上底面半 径为 1 下底面半径为 2 母线长为 2 中挖去一个圆锥 该圆锥的底 面半径为 1 母线长为 2 后得到的 圆台的侧面积为 1 2 2 6 圆锥的侧面积为 1 2 2 所以题中几何体的表面积 为 6 2 22 12 选 B 答案 B 2 2019 开封定位考试 某几何体的三视图如图所示 则该几何 体的体积为
2、A B 1 3 1 2 C D 1 2 3 解析 由三视图知 该几何体是一个三棱锥 其高为 1 底面 是一个等腰直角三角形 所以该几何体的体积 V 2 2 1 1 3 1 2 故选 C 2 3 答案 C 3 2019 安徽示范高中 已知三棱锥 P ABC 中 AB 平面 APC AB 4 PA PC AC 2 则三棱锥 P ABC 外接球 22 的表面积为 A 28 B 36 C 48 D 72 解析 解法一 因为 PA PC AC 2 所以 PA PC 因为 2 AB 平面 APC 所以 AB AC AB PC 又 PA AB A 所以 PC 平面 PAB 所以 PC PB 则 BCP AB
3、C 均为直角三角 形 如图 取 BC 的中点为 O 连接 OA OP 则 OB OC OA OP 即点 O 为三棱锥 P ABC 外接球的球心 在 Rt ABC 中 AC 2 AB 4 则 BC 6 所以外接球的半径 2 R 3 所以三棱锥 P ABC 外接球的表面积 S 4 R2 36 故选 B 解法二 因为 PA PC AC 2 所以 PA PC ACP 为 2 直角三角形 如图 取 AC 的中点为 M 则 M 为 PAC 外接圆的圆 心 过 M 作直线 n 垂直于平面 PAC 则直线 n 上任意一点到点 P A C 的距离都相等 因为 AB 平面 PAC 所以 AB 平行于直线 n 设直
4、线 n 与 BC 的交点为 O 则 O 为线段 BC 的中点 所以点 O 到点 B C 的距离相等 则点 O 即三棱锥 P ABC 外接球的球 心 因为 AB 平面 PAC 所以 AB AC 又 AC 2 AB 4 所 2 以 BC 6 则外接球的半径 R 3 所以三棱锥 P ABC 外接球的表 面积 S 4 R2 36 故选 B 解法三 因为 PA PC AC 2 所以 PA PC 又 AB 2 平面 PAC 所以可把三棱锥 P ABC 放在如图所示的长方体中 此 长方体的长 宽 高分别为 4 则三棱锥 P ABC 的外接 222 球即长方体的外接球 长方体的体对角线即长方体外接球的直径 易
5、得长方体的体对角线的长为 6 则外接球的半径 R 3 所以三棱 锥 P ABC 外接球的表面积 S 4 R2 36 故选 B 答案 B 4 2019 唐山摸底 已知某几何体的三视图如图所示 俯视图中 曲线为四分之一圆弧 则该几何体的表面积为 A 1 B 3 4 2 C 2 D 4 4 解析 由题设知 该几何体是棱长为 1 的正方体被截去底面半 径为 1 的 圆柱后得到的 如图所示 所以表面积 S 2 1 4 2 1 1 2 1 1 4 故选 D 1 1 1 4 12 1 4 答案 D 5 2019 山西第一次联考 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某几何体的三视图 则该几何体的各
6、个面的面积中 最大的面积是 A 2B 5 C D 2 62 解析 由三视图可知 该几何体为四面体 记为四面体 ABCD 将其放入长方体中 如图 易知长方体的高为 1 AB BC AD DC AB AD 2 则 BD 2 BC DC 25 所以 S ABD 2 2 2 S ABC S ADC 2 S 1 2 1 255 BDC 2 所以 BDC 的面积最大 为 故选 C 1 225 266 答案 C 6 2019 武昌调研 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线 画出的是某四面体的三视图 则此四面体的体积为 A B 16 32 3 C 32D 48 解析 由三视图知 该四面体可以看作是正方体中
7、的三棱锥 P ABC 如图 由已知可得 AB 4 AC 4 ABC 是直角三角形 所以 S ABC AB AC 4 4 8 所以四面体 PABC 的体积 V 1 2 1 2 8 4 故选 A 1 3 32 3 答案 A 7 2019 洛阳联考 四棱锥 S ABCD 的所有顶点都在同一个球 面上 底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内 当此四棱锥 的体积取得最大值时 其表面积等于 8 8 则球 O 的体积等于 3 A B 32 3 32 2 3 C 16 D 16 2 3 解析 由题意得 当此四棱锥的体积取得最大值时 四棱锥为 正四棱锥 如图 连接 AC 则球心 O 为 AC 的中点
8、 连接 SO 设 球 O 的半径为 R 则 AC 2R SO R AB BC R 取 AB 的 2 中点为 E 连接 OE SE 则 OE BC R SE 1 2 2 2SO2 OE2 R 该四棱锥的体积取得最大值时 其表面积等于 6 2 8 8 R 2 4 R R 8 8 解得 R 2 球 O 32 1 22 6 23 的体积等于 R3 故选 A 4 3 32 3 答案 A 8 2019 长沙一模 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 平面 过点 A 且 AC1 平面 ABCD l1 平面 过点 A1 且 A1C 平面 AA1D1D l2 则直线 l1 l2所成角的余弦值为 A B 3 3
9、 2 2 C D 3 2 1 2 解析 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 易得 AC1 平面 A1BD 因为 AC1 所以平面 A1BD 又 平面 ABCD l1 平 面 A1BD 平面 ABCD BD 所以 l1 BD 易得 AC1 所以平面 AB1D1 又 平面 AA1D1D l2 平面 AB1D1 平面 AA1D1D AD1 所以 l2 AD1 所以 l1与 l2所成的角就是 AD1与 BD 所成的角 又 AD1 BC1 所以 DBC1就是 l1与 l2所成的角 因为 BDC1是正三角形 所以 DBC1 60 cos DBC1 故选 D 1 2 答案 D 9 2019 郑州质
10、量预测一 已知三棱柱 ABC A1B1C1的底面为等 腰直角三角形 AB AC 点 M N 分别是边 AB1 AC1上的动点 若直线 MN 平面 BBC1B1 Q 为线段 MN 的中点 则点 Q 的轨迹为 A 双曲线的一支 一部分 B 圆弧 一部分 C 线段 去掉一个端点 D 抛物线的一部分 解析 如图 分别取 AA1 B1C 的中点 E F 任意作一个与平 面 BCC1B1平行的平面 与 AB1 A1C 分别交于 M N 则 MN 平 面 BCC1B1 由题意知 ABC 为等腰直角三角形 AB AC 则侧面 AA1B1B 与侧面 AA1C1C 是两个全等的矩形 且这两个侧面关于过棱 AA1与
11、平面 BCC1B1垂直的平面是对称的 因此 EF 必过 MN 的中点 Q 故点 Q 的轨迹为线段 EF 但需去掉端点 F 故选 C 答案 C 10 2019 武昌调研 已知正三棱锥 S ABC 的各顶点都在球 O 的球面上 棱锥的底面是边长为 2的正三角形 侧棱长为 2 35 则球 O 的表面积为 A 10 B 25 C 100 D 125 解析 如图 设 O1为正三棱锥 S ABC 的底面中心 连接 SO1 则 SO1是三棱锥的高 三棱锥的外接球的球心 O 在 SO1上 设球的半径为 R 连接 AO1 AO 因为正三角形 ABC 的边长为 2 所以 AO1 2 2 因为 SA 2 所以在 R
12、t ASO1 33 3 2 2 35 中 SO1 4 在 Rt AOO1中 R2 4 R 2 22 解 2 5 2 22 得 R 所以球 O 的表面积为 4 2 25 故选 B 5 2 5 2 答案 B 11 2019 山西第一次联考 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 平面 ABC BC1与底面所成角的正切值为 三棱柱的各顶点均在 2 6 3 半径为 2 的球 O 的球面上 且 AC 2 ABC 60 则三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 A 4B 3 4 3 3 C 4D 2 4 2 3 解析 在三角形 ABC 中 AC 2 ABC 60 所以三角形 ABC 的外接圆半径 r 设三
13、角形 ABC 外接圆的圆心 1 2 2 sin60 2 3 3 为 O1 连接 OO1 OA O1A 则 OO1 平面 ABC OO1 AA1 O1A r OA 2 所以 22 r2 2 得 1 2 1 2AA1 AA1 因为 AA1 平面 ABC AA1 CC1 所以 CC1 平面 ABC 4 6 3 所以 BC1与底面 ABC 所成的角是 C1BC 所以 tan C1BC CC1 BC 得 BC 2 因此三角形 ABC 是边长为 2 的正三角 AA1 BC 4 6 3 BC 2 6 3 形 所以三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V S ABC AA1 4 4 故选 C 3 4 4 6 3
14、2 答案 C 12 2019 福建五校联考 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的体积 为 1 点 M 在线段 BC 上 点 M 异于 B C 两点 点 N 为线段 CC1 的中点 若平面 AMN 截正方体 ABCD A1B1C1D1所得的截面为四边 形 则线段 BM 的取值范围为 A B 0 1 3 0 1 2 C D 2 3 1 1 2 1 解析 易知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 若 M 为 BC 的 中点 则 MN AD1 所以此时截面为四边形 AMND1 所以 BM 符合题意 若 0 BM 如图 1 作 BP MN 交 CC1于点 P 再作 1 2 1 2 PQ C
15、1D1交 DD1于点 Q 连接 AQ 易知 MN AQ 所以此时截面 为四边形 AMNQ 所以 0 BM 符合题意 若 BM0 则 ABC 的边长为 a 过点 P 作 PO 面 ABC 于 O PAO 即为侧棱 PA 与底面所成 2 的角 则 O 为 ABC 的中心 AD BC 则 AD 2a 2 2 2 a 2 a AO AD a 6 2 2 3 6 3 Rt POA 中 cos PAO AO AP 6 3 sin PAO 1 6 3 2 3 3 答案 3 3 16 2019 湖南四校联考 在四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形 侧面 SAD 是以 SD 为斜边的
16、等腰直角三角形 若四棱锥 S ABCD 体积的取值范围为 则该四棱锥外接球 4 3 3 8 3 表面积的取值范围是 解析 在四棱锥 S ABCD 中 由条件知 AD SA AD AB SA AB A 所以 AD 平面 SAB 所以平面 SAB 平面 ABCD 过 S 作 SO AB 于点 O 则 SO 平面 ABCD 设 SAB 则 VS ABCD S正方形 ABCD SO sin 所以 1 3 8 3 4 3 3 8 3 sin 又 0 所以 所以 cos 在 3 2 1 3 2 3 1 2 1 2 SAB 中 SA AB 2 所以 SB 2 所以 SAB 的外接 2 1 cos 圆半径 r 将该四棱锥补成一个以 SAB 为一个 SB 2sin 2 1 cos sin 底面的直三棱柱 得其外接球的半径 R 所以该四棱锥外 r2 1 接球的表面积 S 4 R2 4 2 1 cos 1 28 3 20 答案 28 3 20 17 2019 江西五校联考 某几何体的三视图如图所示 正视图 是一个上底为 2 下底为 4 的直角梯形 俯视图是一个边长为 4 的 等边三角形 则该几何体的体积为
