《2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测：2.3.1离散型随机变量的均值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测：2.3.1离散型随机变量的均值（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、23.1离散型随机变量的均值填一填1.离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则YaXb(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Yaxib)P(Xxi)，i1,2,3，n.E(Y)E(aXb)aE(X)b.2两点分布和二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E(X)p；(2)若XB(n，p)，则E(X)np.3随机变量的均值与样本平均值的关系随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样
2、本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值.判一判判断(正确的打“”，错误的打“”)1随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化()2随机变量的均值反映样本的平均水平()3若随机变量X的数学期望E(X)2，则E(2X)4.()4随机变量X的均值E(X).()5若随机变量X的数学期望E(X)3，则E(4X5)7.()6若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为.()7设随机变量XB(16，p)，且E(X)4，则p.()8一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则他独立射击3次中靶次数X的均值
3、为2.4.()想一想1.随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量？提示：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的2随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系？提示：随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均值3对于n个数x1，x2，xn，称(x1x2xn)为这n个数的平均数，如何从随机变量的角度看这个问题？提示：设X为从这n个数中任取的一个数，则X所有可能的取值便为x1，x2，xn，P(Xxi)(i1,2，n)，即X的概率分布列为Xx1x2x3xnPE(X)x1x2x3xn(x1x2xn)4若随机变量
4、XB(40，p)，且E(X)16，则p为何值？提示：E(X)16，40p16，即p0.4.思考感悟：练一练1.已知某一随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)6.3，则a的值为()Xa79Pb0.10.4A.4B5C6 D7解析：根据随机变量X的分布列可知b0.10.41，所以b0.5.又E(X)ab70.190.46.3，所以a4.答案：A2一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为_解析：X的可能取值为3,2,1,0，P(X3)0.6；P(X2)0.40.60.24；P(X1)0.420.60.096；P(X0)0.430.
5、064.所以E(X)30.620.2410.09600.0642.376.答案：2.3763某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为_解析：设小王选对的个数为X，得分为Y5X，则XB(12,0.8)，E(X)np120.89.6，E(Y)E(5X)5E(X)59.648.答案：48知识点一离散型随机变量的方差1.一个口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取2个球，用X表示取出球的较大号码，则E(X)等于()A4 B5C3 D4.5解析：P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5)，故E(X)2345
6、4.答案：A2袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分X的均值解析：取出4只球，颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为P(X5).P(X6).P(X7).P(X8).随机变量X的分布列为X5678P所以E(X)5678.知识点二离散型随机变量均值的性质3.已知随机变量X的分布列为X123P且YaX3，若E(Y)2，则a的值为_解析：E(X)123.YaX3，E(Y)aE(X)3a32.解得a3.答案：34已知随机变量X的分布列如下：X21012Pm(1)求m的值；(2)求E(X)；(3
7、)若Y2X3，求E(Y)解析：(1)由随机变量分布列的性质，得m1，解得m.(2)E(X)(2)(1)012.(3)法一(公式法)：由公式E(aXb)aE(X)b，得E(Y)E(2X3)2E(X)323.法二(直接法)：由于Y2X3，所以Y的分布列如下：Y75311P所以E(Y)(7)(5)(3)(1)1.知识点三两点分布及二项分布的均值5.一次单元测验由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中成绩的均值为_解析：设该学生在这次测验中选对的题数为X，该学生在这次测试中成绩为Y，则XB(2
8、0,0.9)，Y5X.由二项分布的均值公式得E(X)200.918.由随机变量均值的线性性质得E(Y)E(5X)51890.答案：906甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中三人答对的概率分别为，且各人回答得正确与否相互之间没有影响(1)若用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和均值；(2)用A表示事件“甲、乙两队总得分之和为3”，用B表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”，求P(AB)解析：(1)由题意知，的所有可能取值为0,1,2,3，且B，则有P(0)C3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)C3，所以的
9、分布列为0123P由于随机变量B，则有E()32.(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，ABCD，C，D互斥P(C)C2，P(D)C3，P(AB)P(C)P(D).综合知识均值的综合应用7.在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4,0.1,0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1,0.6,0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？解析：设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：X1123P0.40.10.5X2123P0.10.60.3根据均值公式得E(X1)10.420.130.52.1；E(X2)
10、10.120.630.32.2；因为E(X2)E(X1)，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以战士乙获胜的希望较大8某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元Y表示经销一件该商品的利润(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求Y的分布列及均值E(Y)解析：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无
11、人采用1期付款”P()(10.4)30.216，P(A)1P()10.2160.784.(2)Y的可能取值为200元，250元，300元P(Y200)P(X1)0.4，P(Y250)P(X2)P(X3)0.20.20.4，P(Y300)P(X4)P(X5)0.10.10.2，因此Y的分布列为Y200250300P0.40.40.2E(Y)2000.42500.43000.2240(元)基础达标一、选择题1今有两立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)为()A0.765 B1.75C1.765 D0.22解析：X的取值为0,1,2
12、，P(X0)0.10.150.015，P(X1)0.90.150.10.850.22，P(X2)0.90.850.765，E(X)00.01510.2220.7651.75.答案：B2设随机变量X的分布列如下表，且E(X)1.6，则ab等于()X0123P0.1ab0.1A.0.2 B0.1C0.2 D0.4解析：由0.1ab0.11，得ab0.8.又由E(X)00.11a2b30.11.6，得a2b1.3，解得a0.3，b0.5，则ab0.2.答案：C3某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A2 000元 B2 200元C2 400元 D2 600元解析：出海的期望效益E()5 0000.6(10.6)(2 000)30008002 200元答案：B4已知随机变量X和Y，其中Y12X7，且E(Y)34，若X的分布列如下表，则m的值为()X1234Pmn
