《2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：第三章测试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：第三章测试卷（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、选修 1 1 第三章测试卷 时间 90 分钟 满分 150 分 一 选择题 共 12 小题 满分 60 分 每小题 5 分 1 函数 f x x 2a x a 2的导数为 A f x 2 x2 a2 B f x 2 x2 a2 C f x 3 x2 a2 D f x 3 x2 a2 解析 由 f x x 2a x a 2 x 2a x2 2ax a2 x3 3a2x 2a3 所以 f x x3 3a2x 2a3 3 x2 a2 故选 C 答案 C 2 若函数 y x3 log2x e x 则 y A x4 e x B x4 e x 1 4 1 xln 2 1 4 1 xln 2 C 3x2 e
2、 x D 3x2 e x 1 xln 2 1 xln 2 解析 因为 y x3 log2x e x 所以 y 3x2 e x 故选 C 1 xln 2 答案 C 3 函数 f x 2x ln x 的图象在 x 1 处的切线方程为 A x y 1 0 B x y 1 0 C 2x y 1 0 D 2x y 1 0 解析 当 x 1 时 f 1 2 0 2 所以切点为 1 2 由题得 f x 2 k f 1 2 1 1 x 1 1 所以切线方程为 y 2 1 x 1 即 x y 1 0 故选 A 答案 A 4 以下四个数中 最大的是 A ln B 3 3 1 e C D ln 15ln 15 30
3、 解析 由题意 令 f x 则 f x ln x x 1 x x2 所以 x e 时 f x 0 f x 在 e 上递减 又由 e 3 f 3 f f 15 则 ln e ln 3 ln ln ln 15 ln 15 1 e 1 3 1 3 1 1 15 15 30 即 ln ln 15 1 e 3 3 ln 15 30 故选 B 答案 B 5 下列函数中 在 0 内为增函数的是 A y sin x B y xe2 C y x3 x D y ln x x 解析 只有 B 中 y e2 0 在 0 内恒成立 答案 B 6 已知当 m n 1 1 时 sin sinn B m n C m0 f x
4、 单调递增 又由 m3 sin n3 sin 所以 f m f n 即 m0 x 时 h x x 1 x a x g x0 成立 则实数 a 的取值范围为 A 1 B 1 C 0 D 0 解析 设 h x f x g x ax 2ln x 则 h x a 若 a 0 h x 在 1 e 上的最大值为 h 1 a 0 不存在 x0 1 e 2 x 使得 h x0 0 即 f x0 g x0 成立 若 a 0 则由 h 1 a 0 知 总存在 x0 1 使得 f x0 g x0 成立 故实数 a 的范围为 0 故选 D 答案 D 10 设点 P 是曲线 f x x 2ln x 上的任意一点 则 P
5、 到直线 x y 2 0 的距离的最小 值为 A B 2 2 C 2 D 3 ln 2 222 解析 因为点 P 是曲线 f x x 2ln x 上的任意一点 当点 P 是曲线的切线中与直线 x y 2 0 平行的直线的切点时 距离最小 由 x y 2 0 的斜率是 1 得 y 1 2 1 解得 x 1 所以可得 P 点坐标 1 1 点 P 到直线 x y 2 0 的距离的 1 x 最小值为 2 故选 C 1 1 2 12 122 答案 C 11 已知函数 f x Acos x A 0 0 的图象如图所示 令 g x f x f x 2 则下列关于函数 g x 的说法中正确的是 A 若函数 h
6、 x g x 2 的两个不同零点分别为 x1 x2 则 x1 x2 的最小值为 2 B 函数 g x 的最大值为 2 C 函数 g x 的图象上存在点 P 使得在 P 点处的切线与直线 y 3x 1 平行 D 函数 g x 图象的对称轴方程为 x k x Z 5 12 解析 由图象可知 A 2 T 4 2 3 6 1 2 T 2 1 f x 2cos x f 2cos 2 且 6 6 1 2 f x 2cos 6 x 6 g x f x f x 2cos 2sin 2cos x 6 x 6 2 x 12 由 h x g x 2 0 可得 cos x 12 2 2 则 x1 x2 的最小值为 故
7、 A 项正确 结合余弦函数的性质可知 f x 的最大值 5 4 3 4 2 为 2 故 B 项错误 根据导数的几何意义可知 过点 P 的切线斜率 k f x 2sin 22 2 2 不存在斜率为 3 的切线方程 故 C 项错误 令 x k 可得 x 12 22 12 x k k Z 故 D 项错误 故选 A 12 答案 A 12 已知函数 f x x3 1 a x e e 是自然对数的底数 与 g x 3ln x 的图象上存 1 e 在关于 x 轴对称的点 则实数 a 的取值范围是 A 0 e3 4 B 1 e3 4 C 1 e3 3 D e e3 3 解析 根据题意 若函数 f x x3 1
8、 a x e e 是自然对数的底数 与 g x 3ln x 1 e 的图象上存在关于 x 轴对称的点 则方程 x3 1 a 3ln x 在区间上有解 x3 1 a 3ln x 即 a 1 x3 3ln 1 e e x 即方程 a 1 x3 3ln x 在区间上有解 设函数 h x x3 3ln x 其导数 h x 1 e e 3x2 3 x 3 x3 1 x 又 h x 0 在 x 1 有唯一的极值点 分析可得 当 x 1 时 h x 0 h x 为减函数 1 e 当 1 x e 时 h x 0 h x 为增函数 故函数 h x x3 3ln x 有最小值 h 1 1 又由 h 3 h e e
9、3 3 比较得 h0 请你给出一个满足上述两个条件的函数 y f x 的例子 解析 依题意可知 y sin x 1 有极大值 2 也有极小值 0 且满足 x 0 1 f x 0 答案 y sin x 1 16 已知函数 f x ln x ax 有三个零点 则实数 a 的取值范围是 解析 由函数 f x ln x ax 有三个零点 可转化为 y ln x 与直线 y ax 有三个不同的 交点 显然 a 0 时不满足条件 当 a 0 时 若 x 1 设切点坐标为 x0 ln x0 由 y ln x 得 y 所以切线斜率为 1 x 1 x0 因此 切线方程为 y ln x0 x x0 由切线过原点
10、得 x0 e 1 x0 此时切线的斜率为 1 e 故当 0 a1 直线 y ax 与 y ln x 有两个交点 当 0 x 1 时 直线 y ax 与 1 e y ln x 有一个交点 结合图象可得 0 a0 时 令 f x 0 得 x 所以函数 f x 在上单调递增 2a 2 2a 2 令 f x 0 得 x0 时 函数 f x 在上单调递增 在上单调递减 2a 2 0 2a 2 2 当 a 2 时 由 1 知 函数 f x 在上单调递减 在 1 e 上单调递增 故 f x 1 e 1 min f 1 1 又因为 f 2 3 5 29 2 72 2 f e e2 2 2 82 2 5 84
11、1 e 1 e2 故 f x max f e e2 2 19 12 分 设函数 f x 定义在 0 上 f 1 0 导函数 f x g x f x 1 x f x 求 g x 的单调区间和最小值 解析 由题设易知 f x ln x g x ln x g x 令 g x 0 得 x 1 1 x x 1 x2 当 x 0 1 时 g x 0 故 1 是 g x 的单调增区间 因此 x 1 是 g x 的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以最小值为 g 1 1 20 12 分 已知函数 f x ln x ax2 a 2 x a R 讨论 f x 的单调性 解析 因为 f x ln x ax
12、2 a 2 x 所以 f x 2ax a 2 x 0 1 x 2ax2 a 2 x 1 x 当 a 0 时 f x 0 f x 在 0 上是单调增函数 当 a0 当 x 时 f x 0 0 1 a 1 a f x 在上单调递增 在上单调递减 0 1 a 1 a 综上 当 a 0 时 f x 在 0 上是单调增函数 当 a 0 时 f x 在上单调递增 在上单调递减 0 1 a 1 a 21 12 分 已知函数 f x x3 x2 bx c 1 2 1 若 f x 在 上是增函数 求 b 的取值范围 2 若 f x 在 x 1 处取得极值 且 x 1 2 时 f x c2恒成立 求 c 的取值范
13、围 解析 1 由 f x x3 x2 bx c 得 f x 3x2 x b 1 2 f x 在 上是增函数 1 12b 0 解得 b 1 12 故 b 的取值范围为 1 12 2 f x 在 x 1 处取得极值 f 1 2 b 0 b 2 故 f x x3 x2 2x c f x 3x2 x 2 1 2 由 f x 0 解得 x 或 x 1 2 3 当 x0 当 x 1 时 f x 1 时 f x 0 故 f x 在 x 2 3 2 3 处取得极大值 f c 当 x 1 2 时 f 1 c f 2 2 c 此时 f x max f 2 2 3 2 3 22 27 1 2 2 c 由题意得 2
14、c2 或 c0 a x 2x2 a x 当 a 0 时 f x 0 即 f x 在 0 上单调递增 当 a 0 时 令 f x 0 解得 x a 2 当 x 时 f x 0 0 a 2 a 2 f x 在上单调递减 在上单调递增 0 a 2 a 2 2 证明 由已知得 h x x2 2ln x x 2 2 x 则 h x 2x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1 x 1 x x x 0 x 1 1 x 1 1 1 xxx 2 x 1 1 0 xx 当 x 0 1 时 1 0 则 h x 0 则 h x 0 x h x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 又 h 1 1 2ln 1 1 2 2 0 h x 在 0 上有唯一零点
