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1、1 非线性方程 组 的近似解 了解用迭代法求非线性方程 组 的近似解的基本方法 2 非线性方程的特点 方程根的特点 n次代数方程有且只有n个根 包括复根 重根 5次以上的代数方程无求根公式 超越方程有无根 有几个根通常难以判断 方程分类 代数方程 a0 xn a1xn 1 an 0 超越方程 包含超越函数 如sinx lnx 的方程 非线性方程 n 2 次代数方程和超越方程 3 基本内容 3 实际问题中非线性方程的数值解 1 非线性方程f x 0的数值解法 迭代方法的基本原理 牛顿方法 2 推广到解非线性方程组 4 根的隔离 二分法 二分法的原理 二分法的实现 不足 收敛速度较慢 解方程f x
2、 0 作f x 图形 观察f x 与x轴的交点 区间每次缩小一半 n足够大时 可确定根的范围 中点 5 迭代法举例 存在根 6 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 3 0000 5 0000 11 0000 107 0000 3 0000 3 5000 3 1111 3 4054 3 1779 3 3510 3 0000 3 2857 3 2749 3 2749 3 2749 3 2749 iteration m 7 迭代法的思路和几何解释 y x x x y y x 0 x1 x0 P0 x0 x1 xk 收敛于x xk 不收敛于x 8 迭代法的收敛性 L不易确定 9 迭代法的收
3、敛速度 收敛阶 10 x 的构造决定收敛速度 迭代法的收敛速度 收敛阶 例题 11 牛顿切线法 牛顿切线法至少2阶收敛 若x 为单根 12 牛顿割线法 y O xk 1 x y f x P Q xk 1 xk 牛顿切线法 若x 为重根 牛顿切线法1阶收敛 收敛速度比牛顿切线法稍慢 重数越高 收敛越慢 13 用MATLAB解非线性方程 牛顿法 多项式求根 14 functiony newton1 x0 n tol x 1 x0 c 1 i 1 while abs c tol abs x i x i 1 x i fun1 x i dfun1 x i c x i 1 x i i i 1 if i n
4、 error nisfull return endendx i i fun1 m是f x 的m 函数文件 dfun1 m是f x 的m 函数文件 求解f x 0的newton1 m文件 newton1 m example01 m 15 functiony newton2 x01 x02 n eps x 1 x01 x 2 x02 b 1 i 2 while abs b eps abs x i x i 1 x i fun2 x i x i x i 1 fun2 x i fun2 x i 1 b x i 1 x i i i 1 if i n error nisfull return endendy
5、 x i i 牛顿割线法的MATLAB文件 16 模型假设 1 总人数N不变 健康人和病人的比例分别为 2 每个病人每天有效接触人数为a 且使接触的健康人致病 a 日接触率 3 病人每天治愈的比例为b b 日治愈率 4 病愈后免疫 人数比例为 模型1 实例1 传染病SIR模型 17 模型建立 t t Ny t ax t x t t x N D D 无法求出的解析解 x t 健康人 y t 病人 z t 病愈免疫 a 日接触率 b 日治愈率 18 接触数 传染期内一个病人平均接触人数 1 b 传染期 模型建立 19 模型求解 20 结果分析 1 求健康人未被传染的比例 并计算病人比例最大值 健康
6、人未被传染的比例x 是以下方程的解 21 functiony dfun1 x a 1 b 0 3 s a b y 1 s x 1 functiony fun1 x a 1 b 0 3 s a b x0 0 98 y0 0 02 y 1 s log x x0 x x0 y0 a 1 b 0 3 s a b x0 0 98 y0 0 02 x 0 01 0 01 1 y1 0 y2 1 x y 1 s log x x0 x x0 y0 plot x y r x y2 b grid newton1 0 1 20 1e 4 x 1 s ifx x0ym 1 s log x x0 x x0 y0else
7、ym y0end bing m 22 解非线性方程组的牛顿法 推广到解方程组 解方程的牛顿切线法 23 解方程 24 fcz1 m fcz01 m 25 解方程的牛顿割线法 解方程组的拟牛顿法 用Ak代替F xk 矩阵Ak n2个未知数 不能由这样的n个方程确定 26 2 用牛顿法求解方程组在指定点附近的根 用牛顿法求的两个根 准确到 取不同的初值计算 输出初值 根的近似值和迭代次数 分析两个根的收敛域 27 3 铅球掷远比赛要求运动员在直径2 135m的圆内将重7 257kg的铅球投掷在一个扇形区域内 忽略空气阻力 以出手速度 出手角度 出手高度为参数 建立铅球掷远的数学模型 在此基础上 给定出手高度 对于不同的出手速度 确定最佳出手角度 设投掷者身高加上臂长为2 0米 出手速度13 6m s g 9 8m 2 s 求使距离最大的最佳出手速度 28 自由讨论 4 在上题基础上 考虑空气阻力的影响 假设阻力与铅球飞行速度成正比 比例系数为0 001 重新建立数学模型 求出最佳出手角度
