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1、二次函数的三种解析式及求法 一 二次函数常用的三种解析式的确定 已知抛物线上三点的坐标 通常选择一般式 已知抛物线上顶点坐标 对称轴或最值 通常选择顶点式 已知抛物线与x轴的交点坐标或对称轴 选择交点式 1 一般式 2 顶点式 3 交点式 y ax2 bx c y a x h 2 k y a x x1 x x2 二 求二次函数解析式的思想方法 1 求二次函数解析式的常用方法 2 求二次函数解析式的常用思想 3 二次函数解析式的最终形式 待定系数法 配方法 数形结合等 转化思想解方程或方程组 无论采用哪一种解析式求解 最后结果都化为一般式 例1 已知二次函数的图象经过点A 0 1 B 1 0 C
2、 1 2 求它的关系式 分析 根据二次函数的图象经过三个已知点 可设函数关系式为y ax2 bx c的形式 例1 已知二次函数的图象经过点A 0 1 B 1 0 C 1 2 求它的关系式 解 设二次函数关系式y ax2 bx c 由已知 这个函数的图象过 0 1 可以得到c 1 又由于其图象过点 1 0 1 2 两点 可以得到 解这个方程组 得a 2 b 1 所以 所求二次函数的关系式是y 2x2 x 1 例2 已知抛物线的顶点为 1 3 且与y轴交于点 0 1 求这个二次函数的解析式 分析 根据已知抛物线的顶点坐标 可设函数关系式为y a x 1 2 3 再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值
3、 例2 已知抛物线的顶点为 1 3 且与y轴交于点 0 1 求这个二次函数的解析式 解 因为抛物线的顶点为 1 3 所以设二此函数的关系式为y a x 1 2 3 又由于抛物线与y轴交于点 0 1 可以得到1 a 0 1 2 3解得a 4所以 所求二次函数的关系式是y 4 x 1 2 3 即y 4x2 8x 1 例3 已知抛物线的顶点为 3 2 且与x轴两交点间的距离为4 求它的解析式 分析 根据已知抛物线的顶点坐标 3 2 可设函数关系式为y a x 3 2 2 同时可知抛物线的对称轴为x 3 再由与x轴两交点间的距离为4 可得抛物线与x轴的两个交点为 1 0 和 5 0 任选一个代入y a
4、 x 3 2 2 即可求出a的值 例4 已知抛物线与x轴交于点M 3 0 N 5 0 且与y轴交于点P 0 3 求它的解析式 方法1 因为已知抛物线上三个点 所以可设函数关系式为一般式y ax2 bx c 把三个点的坐标代入后求出a b c 就可得抛物线的解析式 方法2 根据抛物线与x轴的两个交点的坐标 可设函数关系式为y a x 3 x 5 再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值 分析 1 根据下列条件 分别求出对应的二次函数的关系式 1 已知二次函数的图象经过点 0 2 1 1 3 5 2 已知抛物线的顶点为 1 2 且过点 2 1 3 已知抛物线与x轴交于点 1 0 2 0 且经过点 1
5、2 2 二次函数图象的对称轴是x 1 与y轴交点的纵坐标是 6 且经过点 2 10 求此二次函数的关系式 课堂练习 例1 已知二次函数的图像如图所示 求其解析式 解法一 一般式 设解析式为 顶点C 1 4 对称轴x 1 A 1 0 关于x 1对称 B 3 0 A 1 0 B 3 0 和C 1 4 在抛物线上 即 三 应用举例 例1 已知二次函数的图像如图所示 求其解析式 解法二 顶点式 设解析式为 顶点C 1 4 又 A 1 0 在抛物线上 a 1 即 h 1 k 4 三 应用举例 解法三 交点式 设解析式为 抛物线与x轴的两个交点坐标为A 1 0 B 3 0 y a x 1 x 3 又C 1 4 在抛物线上 4 a 1 1 1 3 a 1 y x 1 x 3 即 例1 已知二次函数的图像如图所示 求其解析式 三 应用举例
