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1、3 2 2平面的法向量与平面的向量表示 已知平面 如果向量的基线与平面 垂直 则向量叫做平面 的法向量或说向量与平面 正交 由平面法向量的定义可知 平面 的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量 由于同时垂直于同一平面的两条直线平行 可以推知 一个平面的所有法向量互相平行 由平面法向量的性质 很容易通过向量运算证明直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和平面的两条相交直线垂直 那么这条直线垂直于这个平面 已知 a b是平面 内的两条相交直线 且直线n a n b 求证 n 由直线与平面垂直的判定定理 就可以推知 在平面AM1M2内的任一点M都满足条件 式 又知满足条件
2、的所有点M都在平面AM1M2内 这就说明 我们可以用 式表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面 式通常称为一个平面的向量表示式 例1 设分别是平面 的法向量 根据下列条件 判断 的位置关系 垂直 平行 相交 例2 设平面 的法向量为 1 2 2 平面 的法向量为 2 4 k 若 则k 若 则k 4 5 1 已知l 且l的方向向量为 2 m 1 平面 的法向量为 1 2 则m 8 2 已知l 且l的方向向量为 2 1 m 平面 的法向量为 1 2 则m 4 练习 例3 已知点A a 0 0 B 0 b 0 C 0 0 c 其中abc 0 如图 求平面ABC的一个法向量 bc ac ab 例4
3、 已知 AB AC分别是平面 的垂线和斜线 BC是AC在 内的射影 l 且l BC 求证 l AC 三垂线定理 三垂线定理 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直 则它和这条斜线垂直 类似地可以证明三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直 则它和这条斜线在平面内的射影垂直 1 已知平面 内有一个点M 1 1 2 平面 的一个法向量是 6 3 6 则下列点P中在平面 内的是 A P 2 3 3 B P 2 0 1 C P 4 4 0 D P 3 3 4 A 2 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1 则侧棱与底面所成的角为 A 75 B 60 C 45 D 30 C 3 正四棱锥S ABCD中 O为顶点在底面上的射影 P为侧棱SD的中点 且SO OD 则直线BC与平面PAC所成的角是 30 D 7 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 CD中点 求证 D1F 平面ADE 8 如图 在底面是菱形的四棱锥P ABCD中 ABC 60 PA AC a PB PD a 点E在PD上 且PE ED 2 1 在棱PC上是否存在一点F 使BF 平面AEC 证明你的结论
