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1、常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 本章内容 n阶显式微分方程 微分方程的基本概念 一般地 n阶常微分方程的形式是 的阶 分类 或 机动目录上页下页返回结束 使方程成为恒等式的函数 通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件 n阶方程的初始条件 或初值条件 的阶数相同 特解 通解 特解 微分方程的解 不含任意常数的解 定解条件 其图形称为积分曲线 机动目录上页下页返回结束 定义3 2 微分方程的解 几何意义 转化 可分离变量微分方程 机动目录上页下页返回结束 第二节 解分离变量方程 可分离变量方程
2、第七章 分离变量方程的解法 设y x 是方程 的解 两边积分 得 则有恒等式 当G y 与F x 可微且G y g y 0时 说明由 确定的隐函数y x 是 的解 则有 称 为方程 的隐式通解 或通积分 同样 当F x f x 0时 上述过程可逆 由 确定的隐函数x y 也是 的解 机动目录上页下页返回结束 形如 的方程叫做齐次方程 令 代入原方程得 两边积分 得 积分后再用 代替u 便得原方程的通解 解法 分离变量 机动目录上页下页返回结束 第三节齐次方程 内容小结 1 微分方程的概念 微分方程 定解条件 2 可分离变量方程的求解方法 说明 通解不一定是方程的全部解 有解 后者是通解 但不包
3、含前一个解 例如 方程 分离变量后积分 根据定解条件定常数 解 阶 通解 特解 y x及y C 机动目录上页下页返回结束 3 齐次方程的求解方法 令 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程 常用的方法 1 根据几何关系列方程 如 P263 5 2 2 根据物理规律列方程 如 例4 例5 3 根据微量分析平衡关系列方程 如 例6 2 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件 3 求通解 并根据定解条件确定特解 3 解微分方程应用题的方法和步骤 机动目录上页下页返回结束 一 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式 若Q x 0 称为非齐次方程 1 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为
4、称为齐次方程 机动目录上页下页返回结束 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2 解非齐次方程 用常数变易法 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 机动目录上页下页返回结束 该定理易让我们想起 线性代数 中的一阶非齐次线性方程组的解的结构定理 二 伯努利 Bernoulli 方程 伯努利方程的标准形式 令 求出此方程通解后 除方程两边 得 换回原变量即得伯努利方程的通解 解法 线性方程 伯努利目录上页下页返回结束 内容小结 1 一阶线性方程 方法1先解齐次方程 再用常数变易法 方法2用通解公式 化为线性方程求解 2 伯努利方程 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 判别下列
5、方程类型 提示 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 机动目录上页下页返回结束 可降阶高阶微分方程 机动目录上页下页返回结束 第五节 一 型的微分方程 二 型的微分方程 三 型的微分方程 第七章 解法 降阶 一 令 因此 即 同理可得 依次通过n次积分 可得含n个任意常数的通解 型的微分方程 机动目录上页下页返回结束 既不含未知函数y 也不含未知函数的导数 解法 连续积分n次 便得通解 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分 得原方程的通解 二 机动目录上页下页返回结束 即含自变量x 不含未知函数y 三 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为
6、即得 分离变量后积分 得原方程的通解 机动目录上页下页返回结束 即含有未知函数y 不含自变量x 内容小结 可降阶微分方程的解法 降阶法 逐次积分 令 令 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 方程 如何代换求解 答 令 或 一般说 用前者方便些 均可 有时用后者方便 例如 2 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 答 1 一般情况 边解边定常数计算简便 2 遇到开平方时 要根据题意确定正负号 例6 例7 机动目录上页下页返回结束 n阶线性微分方程的一般形式为 方程的共性 为二阶线性微分方程 例1 例2 可归结为同一形式 时 称为非齐次方程 时 称为齐次方程 复习 一阶线性方程 通解
7、非齐次方程特解 齐次方程通解Y 机动目录上页下页返回结束 证毕 二 线性齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程 的两个解 也是该方程的解 证 代入方程左边 得 叠加原理 定理1 机动目录上页下页返回结束 是不是所给二阶方程的通解 问题 说明 不一定是所给二阶方程的通解 例如 是某二阶齐次方程的解 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念 机动目录上页下页返回结束 定义 是定义在区间I上的 n个函数 使得 则称这n个函数在I上线性相关 否则称为线性无关 例如 在 上都有 故它们在任何区间I上都线性相关 又如 若在某区间I上 则根据二次多项
8、式至多只有两个零点 必需全为0 可见 在任何区间I上都线性无关 若存在不全为0的常数 机动目录上页下页返回结束 两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件 线性相关 存在不全为0的 使 线性无关 常数 思考 中有一个恒为0 则 必线性 相关 证明略 线性无关 机动目录上页下页返回结束 定理2 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解 则 数 是该方程的通解 例如 方程 有特解 且 常数 故方程的通解为 自证 推论 是n阶齐次方程 的n个线性无关解 则方程的通解为 机动目录上页下页返回结束 三 线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程 的一个特解 Y x 是相应齐次方程的通解 定理3 则 是非
9、齐次方程的通解 证 将 代入方程 左端 得 复习目录上页下页返回结束 是非齐次方程的解 又Y中含有 两个独立任意常数 例如 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 证毕 因而 也是通解 机动目录上页下页返回结束 定理4 分别是方程 的特解 是方程 的特解 非齐次方程之解的叠加原理 定理3 定理4均可推广到n阶线性非齐次方程 机动目录上页下页返回结束 定理5 是对应齐次方程的n个线性 无关特解 给定n阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解 则非齐次方程 的通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 机动目录上页下页返回结束 四 常数变易法 复习 常数变易法 对应齐次方程的通解 设非齐次方
10、程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形1 已知对应齐次方程通解 设 的解为 由于有两个待定函数 所以要建立两个方程 机动目录上页下页返回结束 令 于是 将以上结果代入方程 得 故 的系数行列式 P10目录上页下页返回结束 积分得 代入 即得非齐次方程的通解 于是得 说明 将 的解设为 只有一个必须满足的条件即方程 因此必需再附加一 个条件 方程 的引入是为了简化计算 机动目录上页下页返回结束 情形2 仅知 的齐次方程的一个非零特解 代入 化简得 设其通解为 积分得 一阶线性方程 由此得原方程 的通解 代入 目录上页下页返回结束 常系数 机动目录上页下页返回结束 第七节 齐次线性微分方
11、程 基本思路 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程 代数方程 之根 转化 第七章 二阶常系数齐次线性微分方程 和它的导数只差常数因子 代入 得 称 为微分方程 的特征方程 1 当 时 有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解 因此方程的通解为 r为待定常数 所以令 的解为 则微分 其根称为特征根 机动目录上页下页返回结束 2 当 时 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 u x 待定 代入方程得 是特征方程的重根 取u x 则得 因此原方程的通解为 机动目录上页下页返回结束 3 当 时 特征方程有一对共轭复根 利用解的叠加原理 得原方程的线性无关特解 因此原方程的通解为
12、机动目录上页下页返回结束 这时原方程有两个复数解 欧拉公式 小结 特征方程 实根 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 机动目录上页下页返回结束 若特征方程含k重复根 若特征方程含k重实根r 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 特征方程 推广 n阶常系数齐次线性方程 机动目录上页下页返回结束 由于n次代数方程有n个根 而每个根对应着通解中的一项 且每一项各含一个任意常数 将上表中各对应项相加 就得到n阶微分方程的通解 小结 解法 内容小结 特征根 1 当 时 通解为 2 当 时 通解为 3 当 时 通解为 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 机动目录上页下页返回结束 思考与练习
13、求方程 的通解 答案 通解为 通解为 通解为 作业P3101 3 6 10 2 2 3 6 3 第九节目录上页下页返回结束 常系数非齐次线性微分方程 机动目录上页下页返回结束 第八节 一 二 第七章 二阶常系数线性非齐次微分方程 根据解的结构定理 其通解为 求特解的方法 的待定形式 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 待定系数法 机动目录上页下页返回结束 根据f x 的两种特殊形式 一 为实数 设特解为 其中为待定多项式 代入原方程 得 1 若 不是特征方程的根 则取 从而得到特解 形式为 为m次多项式 Q x 为m次待定系数多项式 机动目录上页下页返回结束 2 若 是特征方程的单根 为m
14、次多项式 故特解形式为 3 若 是特征方程的重根 是m次多项式 故特解形式为 小结 对方程 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 即 即 当 是特征方程的k重根时 可设 特解 机动目录上页下页返回结束 简例 二 第二步求出如下两个方程的特解 分析思路 第一步将f x 转化为 第三步利用叠加原理求出原方程的特解 第四步分析原方程特解的特点 机动目录上页下页返回结束 第一步 利用欧拉公式将f x 变形 机动目录上页下页返回结束 第二步求如下两方程的特解 是特征方程的k重根 k 0 1 故 等式两边取共轭 为方程 的特解 设 则 有 特解 机动目录上页下页返回结束 第三步求原方程的特解 利用第二步的
15、结果 根据叠加原理 原方程有特解 原方程 均为m次多项式 机动目录上页下页返回结束 第四步分析 因 均为m次实 多项式 本质上为实函数 机动目录上页下页返回结束 小结 对非齐次方程 则可设特解 其中 为特征方程的k重根 k 0 1 上述结论也可推广到高阶方程的情形 机动目录上页下页返回结束 内容小结 为特征方程的k 0 1 2 重根 则设特解为 为特征方程的k 0 1 重根 则设特解为 3 上述结论也可推广到高阶方程的情形 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 时可设特解为 时可设特解为 提示 1 填空 设 机动目录上页下页返回结束 2 求微分方程 的通解 其中 为实数 解 特征方程 特征根
16、对应齐次方程通解 时 代入原方程得 故原方程通解为 时 代入原方程得 故原方程通解为 机动目录上页下页返回结束 3 已知二阶常微分方程 有特解 求微分方程的通解 解 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解 原方程通解为 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 第十节 欧拉方程 欧拉方程 常系数线性微分方程 第十二章 欧拉方程的算子解法 则 计算繁 机动目录上页下页返回结束 则由上述计算可知 用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程 机动目录上页下页返回结束 思考 如何解下述微分方程 提示 原方程 直接令 作业P3192 6 8 第11节目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 第十一节 微分方程的幂级数解法 一 一阶微分方程问题 二 二阶齐次线性微分方程问题 微分方程解法 积分法 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 本节介绍 数值解法 计算数学内容 本节内容 第十二章 一 一阶微分方程问题 幂级数解法 将其代入原方程 比较同次幂系数可定常数 由此确定的级数 即为定解问题在收敛区间内的解 设所求解为 本质上是待定系数法 机动目录上页下页返
