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1、一、选择题1已知若存在互不相同的四个实数满足,则的取值范围是 ( )A. B. C. D. 2已知,若方程的根组成的集合中只有一个元素,则实数的值为 ( )A. 1 B. 0 C. 1 D. 23设, ,若函数在内有3个零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 4已知是定义在上的偶函数,且在上是增函数,设, ,则的大小关系是 ( )A. B. C. D. 5对于函数和,设, ,若存在,使得,则称和互为“零点相邻函数”,若函数与互为“零点相邻函数”,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 6若圆与双曲线的一条渐近线相切,则此双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D. 7
2、已知平面上的单位向量与的起点均为坐标原点,它们的夹角为,平面区域由所有满足的点组成,其中,那么平面区域的面积为( )A. B. C. D. 8将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种9定义在上的偶函数,当时, ,且在上恒成立,则关于的方程的根的个数叙述正确的是( )A. 有两个 B. 有一个 C. 没有 D. 上述情况都有可能10已知函数,若存在正数,使得,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 11定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f (x),
3、若对任意的实数x,都有2f(x)xf (x)2恒成立,则使x2f(x)f(1)x21成立的实数x的取值范围为A. x|x1 B. (,1)(1,) C. (1,1) D. (1,0)(0,1)12如图, 中, 是斜边上一点,且满足: ,点在过点的直线上,若,则的最小值为( )A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题13已知函数,若对于任意的,任意的都有恒成立,则的取值范围是_14在中,若, , ,则_ .15已知函数(k是常数,e是自然对数的底数,e2.71828)在区间内存在两个极值点,则实数k的取值范围是_16设抛物线 ()的焦点为,准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线
4、,垂足.若,且三角形的面积为,则的值为_.三、解答题17已知()讨论函数的单调性;()若函数在上有最小值,且最小值为,满足,求实数的取值范围18定义:在平面内,点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离,在平面直角坐标系中,已知圆: 及点,动点到圆的距离与到点的距离相等,记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过原点的直线(不与坐标轴重合)与曲线交于不同的两点,点在曲线上,且,直线与轴交于点,设直线的斜率分别为,求.19已知函数.(1)求的单调区间;(2)若且时, 恒成立,求的范围.20已知椭圆的左、右两个焦点分别为,离心率,短轴长为2.(1)求椭圆的方程;(2)点为椭圆上的一动点(非
5、长轴端点),的延长线与椭圆交于点, 的延长线与椭圆交于点,求面积的最大值.参考答案:DCABD ADAAD 11B12B1314151617(I) 函数在单调递减,在单调递增;().(1)求出函数的导数,通过讨论的范围,分别令得增区间, 得减区间;(2)结合(1)可得的范围,得到函数的单调区间,求出函数在上有最小值,从而确定的范围即可.试题解析:()f(x)ex2a当a0时,f(x)0,f(x)在R上单调递增;当a0时,令f(x)0,得xln2a列表得x(,ln2a)ln2a(1n2a,)f(x)0f(x)?所以函数f(x)在(,ln2a)单调递减,在(ln2a,)单调递增()由()可知,当a
6、0时,f(x)有最小值,且在xln2a时取到最小值,ln2a0,f(x)minf(ln2a)2a2aln2a1,g(a)2a2aln2a132ln2,即2a2aln2a22ln20令t2a,t1,ttlnt22ln20记(t)ttlnt22ln2,(t)lnt0(t)在(1,)上单调递减,又(2)0,(t)0时t2,即a1所以a的取值范围是a118();().()由分析知:点在圆内且不为圆心,故,所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆,设椭圆方程为,则,所以,故曲线的方程为()设,则,则直线的斜率为,又,所以直线的斜率是,记,设直线的方程为,由题意知,由得: .,由题意知, ,所以,所以直线的方程为,令,得,即.可得.所以,即19(1)答案见解析;(2) . (1) 令 当时, , 当时, , 当时, 两根为, , , , , , , 综上当时, 区间为当时, 区间,区间(2)即证整理得即证时, 时, 令, 当时, , 在, 时, 时, 满足题意当时, , 时, 不合题意综上20(1)椭圆的标准方程为 (2)面积的最大值为(1) 由题意得,解得, ,故椭圆的标准方程为(2)当直线的斜率不存在时,不妨取,故; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为 ,联立方程组,化简得,设点到直线的距离因为是线段的中点,所以点到直线的距离为,综上, 面积的最大值为.