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1、1 第十节函数与方程 1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存 在性及根的个数 2 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 2 知识梳理 一 函数的零点 1 定义 一般的 如果函数y f x 在 即f a 0 则 叫做这个函数的零点 2 函数的零点存在性定理 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是 并且 在 即 则函数y f x 在 即相应 的方程 f x 0 在区间 a b 内至少有一个实数根 3 函数的零点具有下列性质 当它 不是偶次零点 时函数值 相邻 两个零点之间的所有函数值保持同号 二 二分法 1 定义 对于区间 a b 上图象
2、连续不断的 且f a f b 0 的函数 y f x 通过不断 地把函数的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 从而得到零点近似 值的方法 叫做二分法 2 用二分法求函数零点的近似值的步骤 3 第一步 第二步 第三步 1 若 则 x1就是函数f x 的零点 2 若 则令 b x1 此时零点 x0 a x1 3 若 则令 a x1 此时零点 x0 x1 b 第四步 判断是否达到精确度 即若 则得到零点近似值a 或 b 否则 重 复第二 三 四步 注意 1 在二分法求方程解的步骤中 初始区间可以选的不同 不影响最终计算结果 所选的初始区间的长度尽可能短 但也要便于计算 2 二分法的
3、条件f a f b 0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点 三 一元二次方程根的分布问题 关键是抓住方程ax2 bx c 0 a 0 的根所在区间端点的函数值的符号 判别式及对 称轴的位置这三点来考虑 二次方程 f x ax2 bx c 0 的实根分布及条件 1 方程 f x 0 的两根中一根比r 大 另一根比r 小 a f r 0 b 2a r a f r 0 3 二次方程f x 0 在区间 p q 内有两根 b2 4ac 0 p b 2a0 a f p 0 4 二次方程f x 0 在区间 p q 内只有一根 f p f q 0 或 f p 0 或 f q 0 检验另 一根在 p q
4、 内成立 4 一 1 实数 a 处的值等于零a 2 连续不间断的区间端点的函数值符号相反f a f b 0区间 a b 内至少有一个零 点 3 通过零点变号 二 2 确定区间 a b 验证 f a f b 0 给定精确度 求区间 a b 的中点 x1 计算 f x1 1 f x1 0 2 f a f x1 0 3 f x1 f b 0 a b 基 础自测 1 根据表中的数据 可以判定方程e x x 2 0 的一个根所在的区间为 x 10123 5 e x 0 3712 727 3920 09 x 212345 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 解析 设 f x ex x 2 则由
5、题设知f 1 0 28 0 f 2 3 39 0 故有一个根在 区间 1 2 内 答案 C 2 2013 河北名师俱乐部一模 下列函数中 在 1 1 上有零点且单调递增的是 A y log2 x 2 B y 2 x 1 C y x2 1 2 D y x2 解析 在 1 1 上递增的函数只有y log2 x 2 和 y 2x 1 又 y log2 x 2 的零点为 x 1 y 2x 1 的零点为x 0 故选 B 答案 B 3 如果函数f x x2 mx m 2 的一个零点是0 则另一个零点是 解析 依题意知 m 2 f x x2 2x 方程 x2 2x 0 的另一个根为 2 即函数f x 的另一
6、个零点是2 答案 2 4 方 程x2 2ax 4 0的 两 根 均 大 于1 则 实 数a的 取 值 范 围 是 解析 法一 利用韦达定理 6 设方程 x2 2ax 4 0 的两根为x1 x2 则 x1 1 x2 1 0 x1 1 x2 1 0 0 解得 2 a 5 2 法二 利用二次函数图象的特征 设 f x x2 2ax 4 则 0 f 1 0 a 1 解得 2 a 5 2 答案 2 5 2 7 1 2012 湖北卷 函数 f x xcos x 2 在区间 0 4 上的零点个数为 A 4 B 5 C 6 D 7 解析 由 f x 0 得 x 0 或 cos x2 0 即 x2 k 2 k
7、Z 又 x 0 4 k 0 1 2 3 4 共有 6 个解 故选C 答案 C 2 2013 天津卷 函数 f x 2 x log 0 5x 1 的零点个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 8 解析 2x log0 5x 1 0 log0 5x 1 2 x log0 5x 1 2 x 画这两个函数的图象 由图可知 选项 B 正确 答案 B 1 2012 东北三省四市教研协作体调研 若 a 2 则函数 f x 1 3x 3 ax2 1 在 0 2 内零 点的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 解析 f x x2 2ax 由 a 2可知 f x 在 x 0 2 恒为负 即f x 在 0 2 内单调递 减 又 f 0 1 0 f 2 8 3 4a 1 0 f x 在 0 2 只有一个零点 故选 C 9 答案 C 2 2013 湛江一模 函数 f x x 2 ln x 在定义域内零点的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 由题意 函数f x 的定义域为 0 由函数零点的定义 f x 在 0 内的零点即是方程 x 2 lnx 0 的根 令 y1 x 2 y2 ln x x 0 在一个坐标系中画出两个函数的图象 由图得 两个函数图象有两个交点 故方程有两个根 即对应函数有两个零点 故选C 答案 C
