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1、 1 走向高考 2016 届高三数学一轮基础巩固第 12 章 第 5 节 数学归 纳法 理 北师大版 一 选择题 1 若 f n 1 1 2 1 3 1 6n 1 n N 则 f 1 为 A 1 B 1 5 C 1 1 2 1 3 1 4 1 5 D 非以上答案 答案 C 解析 等式右边的分母是从1 开始的连续的自然数 且最大分母为6n 1 则当 n 1 时 最 大分母为5 故选 C 2 用数学归纳法证明不等式1 1 2 1 4 1 2n 1 127 64 n N 成立 其初始值至少应取 A 7 B 8 C 9 D 10 答案 B 解析 由 Sn 1 1 2n 1 1 2 127 64 得 n
2、 7 又 n N 所以 n 8 3 记凸 k 边形的内角和为f k 则凸 k 1 边形的内角和f k 1 f k A 2 B C 3 2 D 2 答案 B 解析 由凸 k 边形变为凸k 1 边形时 增加了一个三角形 故f k 1 f k 4 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 1 2n 1 n N 的过程中 第二步 n k 时等式成 立 则当n k 1 时应得到 A 1 2 22 2k 2 2k 1 2k 1 1 B 1 2 22 2k 2k 1 2k 1 2k 1 C 1 2 22 2k 1 2k 1 2k 1 1 D 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 1 答案 D 解析 由条件知
3、左边是从20 21 一直到 2n 1 都是连续的 因此当n k 1 时 左边应为 1 2 22 2k 1 2k 而右边应为2k 1 1 5 对于不等式n2 n n 1 n N 某人的证明过程如下 1 当 n 1 时 12 1 1 1 不等式成立 2 2 假设 n k k N 时不等式成立 即k2 k k 1 则 n k 1 时 k 12 k 1 k2 3k 2 k2 3k 2 k 2 k 22 k 1 1 当 n k 1 时 不等式成立 上述证法 A 过程全都正确 B n 1 验得不正确 C 归纳假设不正确 D 从 n k 到 n k 1 的推理不正确 答案 D 解析 本题的证明中 从n k
4、到 n k 1 的推理没有用到归纳假设 所以本题不是用数学 归纳法证题 6 下列代数式 其中 k N 能被 9 整除的是 A 6 6 7k B 2 7k 1 C 2 2 7k 1 D 3 2 7k 答案 D 解析 1 当 k 1 时 显然只有3 2 7k 能被 9 整除 2 假设当 k n n N 时 命题成立 即3 2 7n 能被 9 整除 那么3 2 7n 1 21 2 7n 36 这就是说 k n 1 时命题也成立 由 1 2 可知 命题对任何k N 都成立 二 填空题 7 2014 陕西高考 已知 f x x 1 x x 0 若 f1 x f x fn 1 x f fn x n N 则
5、 f2014 x 的表达式为 答案 x 1 2014x 解析 考查归纳推理 f1 x f x x 1 x f2 x f f1 x x 1 x 1 x 1 x 1 1 2x f3 x f f2 x x 1 2 1 x 1 2x x 1 3x f2014 x x 1 2014x 8 用数学归纳法证明 当 n 为正奇数时 xn yn 能被 x y 整除 当第二步假设n 2k 1 k N 命题为真时 进而需证n 时 命题亦真 答案 2k 1 解析 n 为正奇数 假设n 2k 1 成立后 需证明的应为n 2k 1 时成立 9 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n N 时
6、从 k 到 k 1 左边 需要增加的代数式为 3 答案 2 2k 1 解析 当 n k 时左边的最后一项是2k n k 1 时左边的最后一项是2k 2 而左边各项都 是连续的 所以n k 1 时比 n k 时左边少了 k 1 而多了 2k 1 2k 2 因此增加的代 数式是 2k 12k 2 k 1 2 2k 1 三 解答题 10 2014 广东高考 设数列 an 的前 n 项和为Sn 满足Sn 2nan 1 3n2 4n n N 且 S3 15 1 求 a1 a2 a3 的值 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 a1 S1 2a2 3 12 4 1 2a2 7 a1 a2 S2 4a3
7、3 22 4 2 4 S3 a1 a2 20 4 15 a1 a2 20 a1 a2 8 联立 解得 a1 3 a2 5 a3 S3 a1 a2 15 8 7 综上 a1 3 a2 5 a3 7 2 由 1 猜想 an 2n 1 以下用数学归纳法证明 由 1 知 当 n 1 时 a1 3 2 1 1 猜想成立 假设当n k 时 猜想成立 即ak 2k 1 Sk 3k kk 1 2 2 k2 2k 又 Sk 2kak 1 3k2 4k 2kak 1 3k2 4k k2 2k ak 1 2k 3 即 n k 1 时 有 ak 1 2 k 1 1 成立 由数学归纳法原理知 an 2n 1 成立 一
8、选择题 1 用数学归纳法证明1 2 3 n2 n4 n2 2 则当 n k 1 时左端应在n k 的基础上加 上 A k2 1 B k 1 2 C k 14 k 12 2 D k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2 答案 D 解析 当 n k 时 左侧 1 2 3 k2 当 n k 1 时 左侧 1 2 3 k2 k2 1 k 1 2 当 n k 1 时 左端应在n k 的基础上加上 k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2 4 2 在一次珠宝展览会上 某商家展出一套珠宝首饰 第一件首饰是1 颗珠宝 第二件首饰由 6 颗珠宝 图中圆圈表示珠宝 构成如图1 所示的正六边形 第三件首饰由15 颗
9、珠宝构成如图2 所示的正六边形 第四件首饰是由28 颗珠宝构成如图3 所示的正六边形 第五件首饰是由45 颗珠宝构成如图4 所示的正六边形 以后每件首饰都在前一件上 按照这种规律增加一定数 量的珠宝 使它构成更大的正六边形 依此推断前10 件首饰所用珠宝总颗数为 A 190B 715 C 725D 385 答案 B 解析 由条件可知前5 件首饰的珠宝数依次为 1 1 5 1 5 9 1 5 9 13 1 5 9 13 17 即每件首饰的珠宝数为一个以1 为首项 4 为公差的等差数列的前n 项和 通项an 4n 3 由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为 n 1 4n 3 2 2n2 n 则前 n
10、件首饰所用的珠宝 总数为 2 12 22 n2 1 2 n 4n3 3n2 n 6 当 n 10 时 总数为715 二 填空题 3 若 f n 12 22 32 2n 2 则 f k 1 与 f k 的递推关系式是 答案 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 解析 f k 12 22 2k 2 f k 1 12 22 2k 2 2k 1 2 2k 2 2 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 4 利用数学归纳法证明不等式1 1 2 1 3 1 2n 1 f n n 2 n N 的过程 由n k 到 n k 1 时 左边增加了 项 答案 2k 解析 当 n k 时为 1 1
11、2 1 3 1 2k 1 当 n k 1 时为 1 1 2 1 2k 1 1 2k 1 2 2k 1 所以从 n k 到 n k 1 增加了 2k 项 5 三 解答题 5 设 f x 2x x 2 x1 1 xn f xn 1 n 2 n N 1 求 x2 x3 x4 的值 2 归纳并猜想 xn 的通项公式 3 用数学归纳法证明你的猜想 解析 1 x2 f x1 2 3 x3 f x2 2 2 3 2 3 2 1 2 2 4 x4 f x3 2 1 2 1 2 2 2 5 2 根据计算结果 可以归纳猜想出xn 2 n 1 3 证明 当n 1 时 x1 2 1 1 1 与已知相符 归纳出的公式成
12、立 假设当n k k N 时 公式成立 即xk 2 k 1 那么 当n k 1 时 有 xk 1 2xk xk 2 2 2 k 1 2 k 1 2 4 2k 4 2 k 1 1 所以 当n k 1 时公式也成立 由 知 对任意n N 有 xn 2 n 1成立 6 是否存在常数a b c 使等式 12 22 32 n2 n 1 2 22 12 an bn2 c 对于 一切 n N 都成立 若存在 求出a b c 并证明 若不存在 试说明理由 解析 假设存在a b c 使 12 22 32 n2 n 1 2 22 12 an bn2 c 对于一 切 n N 都成立 当 n 1 时 a b c 1
13、当 n 2 时 2a 4b c 6 当 n 3 时 3a 9b c 19 解方程组 ab c 1 a4b c 3 3a9b c 19 解得 a 1 3 b 2 c 1 证明如下 当 n 1 时 由以上知存在常数a b c 使等式成立 假设 n k k N 时等式成立 6 即 12 22 32 k2 k 1 2 22 12 1 3k 2k2 1 当 n k 1 时 12 22 32 k2 k 1 2 k2 k 1 2 22 12 1 3k 2k2 1 k 1 2 k2 1 3k 2k2 3k 1 k 1 2 1 3k 2k 1 k 1 k 1 2 1 3 k 1 2k2 4k 3 1 3 k 1 2 k 1 2 1 即 n k 1 时 等式成立 因此存在a 1 3 b 2 c 1 使等式对一切 n N 都成立
