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1、所有数学知识的产生和发展 都是自然的和合理的 1 高三复习 极坐标的应用 坐标系 第2 课时 广州市第九十七中学高三理数备组 考纲要求 1 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置 理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区 别 能进行极坐标和直角坐标的互化 第 1 课时 2 能在极坐标系中给出简单图形的方程 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程 理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义 第 2 课时 选题依据 极坐标系是构建坐标系的一种方法 曲线在不同的坐标系中可以有不同形式的方程 不同的坐 标系 可能对曲线问题的研究带来繁简 这就是学习极坐标系的必要性 然而很多学生由于对
2、直角 坐标系比较熟悉 看到题目就马上转化成直角坐标系下进行解题 造成有些题目的运算太过繁琐 因此 教会学生恰当选择坐标系进行解题 就变得非常地重要 学情分析 上课班级为高三理科班 本节课为高三专题复习 坐标系 的第2 个课时 第1 课时已经复习 了坐标系的伸缩变换 极坐标系的概念已经极坐标系与直角坐标系的互化 学生基本掌握两种坐标系 之间的互化 但是对于为什么要学习极坐标 以及对于具体题目该选择哪种坐标系解题会更加方便 学生还是比较茫然 设计思路 本节课上课内容选自2011 年 2015 年和 2016 年新课标高考的5 道高考题 综合2011 新课标 和 2015 新课标II 2 道高考题改
3、编成例题 设置层层递进的3 个问题 体现高考从定到动 从特 殊到一般的特点 进而引导学生数学学习只要回到本质 即极坐标的几何意义 题目百变不离其 宗 将例题中的条件和结论互换 产生了变式训练 采用的是2016 新课标 II 目的在于训练学生 对于知识正用和逆用的能力 同时由于本题解法比较多 学生可以多种角度 发散思维 将数学学 习的前后知识联系起来 课后练习采用的是2015 新课标I 和 2016 新课标I 2 道高考题 两个题 目解法都不唯一 两种坐标系都可以解决问题 体现了学习两种坐标系的意义 教学目标 1 知识与技能 掌握极坐标系方程中的几何意义 会用的几何意义解决有关距离问题 2 过程
4、与方法 让学生从简单具体的问题出发 共同探究极坐标系下如何借助的几何意义来解决 极角相同的两点间的距离问题 引导学生通过观察 归纳 由特殊到一般等方法 感受3 年高考题 的变化特点 3 情感态度与价值观 在探究发现的学习过程中 让学生感受到 所有数学知识的产生和发展 都 是自然的和合理的 发现数学学习的价值所在 所有数学知识的产生和发展 都是自然的和合理的 2 教学重点 掌握极坐标系方程中的几何意义 会用的几何意义解决有关距离问题 教学难点 选择适当的坐标系解决距离问题 难点的突破 解决此类综合问题要注意数形结合 在图形中观察求解的线段的特点 是否过原点 是否确定有无最值等等 根据线段的特点来
5、选择适当的坐标系 教学方法 讲授教学法 问题探究法 探究教学法 讨论教学法 教学手段 采用多媒体ppt课件进行辅助教学 借助实物投影仪展示学生的课堂练习 利用 黑板适当进行板书示范 教学过程 一 知识回顾 1 极坐标系的概念 一个点 极点 以极点为端点的一条射线 极轴 确定一个长度单位 确定角度单位 弧度 以及它的正方向 逆时针方向 极径 坐标平面内的点M到到极点O的距离 OM 记为 极角 以极轴Ox为始边 射线OM为终边的角xOM 记为 极坐标 有序数对 叫做点M的极坐标 记为 M 注意 一般地0 当极角的取值范围是 0 2 时 平面上的点 除去极点 就与极坐标 建立 一一对应的关系 否则点
6、与极坐标就不是一一对应 极点的极坐标是 0 其中极角是任 意角 2 极坐标与直角坐标的转化 直角坐标系的原点O为极点 x轴的正半轴为极轴 且在两坐标系中取相同的长度单位 平面内任 意一点 P的直角坐标与极坐标分别为 yx 和 则由三角函数 的定义可以得到 cos sin x y 222 tan xy y x 0 x 注意 若把直角坐标化为极坐标 求极角时 应判断点P所在的 象限 即角的终边的位置 以便正确地求出角 在 转化过程中注意不要漏解 二 问题引入 上一节复习完直角坐标系和极坐标系的互化之后 有同学就问 既然极坐标都可以化成直角坐 标 那不就是所有的极坐标问题都可以化成直角坐标来解决 我
7、们看看下面的例子 1 在极坐标系中 已知 2 3 A 3 3 B 则 AB1 2 在极坐标系中 已知 2 3 A 2 3 3 B 则 AB5 所有数学知识的产生和发展 都是自然的和合理的 3 O 1 C 2 C x y A B 3 在 极 坐 标 系 中 O是 极 点 设 点 5 4 5 36 AB则 OAB的 面 积 是 5 AB 设计意图 通过具体简单的例子 结合极坐标系画图 让学生发现利用的几何意义 可以较快 的算出线段AB的长度 师生一起总结出 极坐标系内任意极角相同 过极点 的两点 A B之间的 距离可以表示成 AB 三 典型例题 在以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲
8、线 1 2sinC 2 2 3cosC 曲线 3 CR 3 C与 1 C的异于极点的交点为A 与 2 C的异于极点的交点为B I 若 6 求AB的值 生 1 极坐标系下 过极点的线段AB AB 生 2 直角坐标系下 联立直线与圆的方程求交点 进而求线段的长度 设计意图 不同坐标系下 两种方法的对比 体现极坐标系下解题的优势 进而体现学习极坐标系的意义 略解 曲线 1 C的极坐标方程为2sin 2 C的极坐标方程为2 3 cos 直线 6 与 1 C的异于极点的交点A的极径为 1 2sin 1 6 直线 6 与 2 C的异于极点的交点A的极径为 1 2 3 cos 3 6 所以 12 2 3AB
9、 II 若0 求AB的最大值 师 继续提问生2 这个问题在直角坐标系下容易解决吗 生 2 直线不确定 联立求解交点很困难 生 独立思考后相互之间讨论交流 形成解题思路 师 黑板板演解题过 形成解题规范 4120 3 所有数学知识的产生和发展 都是自然的和合理的 4 O 1C 2 C x y A B 略解 曲线 3 C的极坐标方程为 R 其中0 因此得到A的极坐标为 2sin B的极坐标为 23 cos 所以 2sin2 3cos 4 sin 3 AB 由于0 所以 2 333 所以当 32 即 5 6 时 AB取得最大值 最大值为4 思考 若把条件 3 C改为 3 cos sin xt C y
10、t t 为参数 其中0 其他条件不变 结果会有变化吗 设计意图 体现直线方程不同形式的呈现方式 本质都相同 略解 cos sin xt yt t 为参数 结果不变 真题重现 2011 新课标 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的参数方程为 2cos 22sin x y 为参数 M是 1 C上的动点 P点满足2OPOM uu u ruuuu r P点的轨迹为曲线 2 C I 求 2 C的方程 II 在以O为极点 x轴的正半轴为极轴的极坐标系中 射线 3 与 1 C的异于极点的交点为A 与 2 C的异于极点的交点为B 求AB 2015 新课标 II 在直角坐标系xOy中 曲线 1
11、 cos sin xt C yt t 为参数 且0t 其中0 在以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 2 2sinC 3 2 3cos C I 求 2 C与 3 C交点的直角坐标 II 若 1 C与 2 C相交于点A 1 C与 3 C相交于点B 求AB最大值 设计意图 体现高考从定到动 从特殊到一般的特点 进而引导学生数学学习只要回到本质 即 极坐标下与的几何意义 题目百变不离其宗 所有数学知识的产生和发展 都是自然的和合理的 5 6O x y A B 四 变式训练 2016 新课标II 在直角坐标系xOy中 圆C的方程为 22 6 25xy 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴
12、建立极坐标系 求 C的极坐标方程 直线l的参数方程是 cos sin xt yt t为参数 l与C交于 A B两点 10AB 求l的 斜率 生 1 极坐标系下 利用过极点的线段AB 10 AB 求出 生 2 直角坐标系下 利用垂径定理 求出圆心到直线的距离 借 助该距离求出直线的斜率 师 大家不妨观察一下直线的参数方程 有没有什么特点 能不能从直线的参数方程中t的几何意义 来解题呢 设计意图 将例题中的条件和结论互换 产生了变式训练 采用的是2016 新课标 II 目的在于 训练学生对于知识正用和逆用的能力 同时由于本题解法比较多 学生可以多种角度 发散思维 将数学学习的前后知识联系起来 略解
13、 由圆 C的标准方程 22 6 25xy 得 22 1290 xyx 所以圆C的极坐标方程为 2 12cos90 直线l的参数方程是 cos sin xt yt t为参数 可以化为极坐标方程 R 因此直线l与C交于点 A B的极坐标可以设为 12 且 12 是方程 2 12cos90的两个根 则 12 12cos 12 11 所以 22 121212 4144cos4410AB 得 2 3 cos 8 解得 6 cos 4 所以 15 tan 3 或 15 tan 3 归纳总结 利用极坐标系解决问题时要注意 1 熟练掌握直角坐标与极坐标之间的互化 2 熟练掌握过极点的直线的极坐标方程的形式 所
14、有数学知识的产生和发展 都是自然的和合理的 6 3 利用极坐标方程中与的几何意义解题时 一定要数形结合 解决线段距离问题是 注意直线 是否过极点 五 课堂小结 1 两种坐标系 适当选择直角坐标系或者极坐标系 可以简化运算 2 两个变量 正确理解极坐标系下与的几何意义 解决两点间距离问题 3 两种思想方法 转化与化归 数形结合思想的思想方法的运用 极坐标下解决某些距离问题 可以简化运算 所有数学知识的产生和发展 都是自然的和合理的 六 板书设计 七 课后作业 1 2011 新课标 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的参数方程为 2cos 22sin x y 为参数 M是 1 C
15、上的动点 P点满足2OPOM uu u ruuuu r P点的轨迹为曲线 2 C I 求 2 C的方程 II 在以O为极点 x轴的正半轴为极轴的极坐标系中 射线 3 与 1 C的 异于极点的交点为A 与 2 C的异于极点的交点为B 求AB 2 2015 新课标II 在直角坐标系xOy中 曲线 1 cos sin xt C yt t 为参数 且0t 其中 0 在以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 2 2sinC 3 2 3cos C I 求 2 C与 3 C交点的直角坐标 II 若 1 C与 2 C相交于点A 1 C与 3 C相交于点 B 求AB最大值 课题 极坐标的应用 知识
16、回顾问题引入 例题变式 1 1 极坐标 2 结论 2 互化 所有数学知识的产生和发展 都是自然的和合理的 7 3 2015 新课标I 在直角坐标系xOy中 直线 1 2Cx 圆 22 2 121Cxy 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 I 求 12 CC的极坐标方程 II 若直线 3 C的极坐标方程为 R 4 设 23 CC的交点为 M N 求 2 C MN的面积 4 2016 新课标I 在直线坐标系xOy中 曲线 C1的参数方程为 cos 1sin xat yat t 为参数 a 0 在以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线C2 4cos 说明 C1是哪种曲线 并将C1的方程化为极坐标方程 直线 C3的极坐标方程为 0 其中 0满足 tan 0 2 若曲线C1与 C2的公共点都在C3上 求 a 八 教学反思 上节复习课讲完两种坐标系互化后 有些学生质疑 既然极坐标可以化成直角坐 标 那为什么还要学习极坐标呢 根本原因还是学生对极坐标系中与的几何意义理 解还不到位 对数学的本质理解还不透彻 针对这一问题 本节课上课内容选取了2011 年 2015年和 2
