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1、课时素养评价 二十三函数奇偶性的应用 (25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知函数f(x)=-x,x(-1,0)(0,1),则正确的判断是()A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)在(0,1)上单调递减D.f(x)在(-1,0)上单调递减【解析】选A、C、D.函数f(x)=-x的定义域为x|x0,因为xx|x0都有-xx|x0,且f(-x)=-(-x)=-=-f(x),所以f(x)=-x为奇函数,因为y=和y=-x都在(0,1)上单调递减,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,根据f(x
2、)为奇函数可知f(x)在(-1,0)上单调递减,综上知A,C,D正确,B错误.【加练固】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1B.y=x3C.y=D.y=x2【解析】选B.根据题意,依次分析选项:对于A,y=x+1,是一次函数,不是奇函数,不符合题意;对于B,y=x3,为幂函数,既是奇函数又是增函数,符合题意;对于C,y=,为反比例函数,在定义域上不是增函数,不符合题意;对于D,y=x2,为二次函数,不是奇函数,不符合题意.2.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+)上有最大值5,则F(x)在(-,0)上有()A.最小值-5B.最大值-
3、5C.最小值-1D.最大值-3【解析】选C.令h(x)=f(x)+g(x),因为函数f(x),g(x)都是奇函数,则h(x)也是奇函数,且F(x)=h(x)+2.因为F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+)上有最大值5,所以h(x)在(0,+)上有最大值3,所以h(x)在(-,0)上有最小值-3,所以F(x)=h(x)+2在(-,0)上有最小值-1.3.定义在R上的函数f(x)是奇函数,且在(0,+)上单调递增,又f(-3)=0,则f(x)0的解集是()A.(-3,0)(3,+)B.(-,-3)(0,3)C.(-,-3)(3,+)D.(-3,0)(0,3)【解析】选B.因为f(x)是奇函数
4、,且在(0,+)上单调递增,所以f(x)在(-,0)上单调递增,因为f(-3)=-f(3)=0,所以f(3)=0.则对应的函数图象如图(草图):则当-3x3时,f(x)0,当0x3或x-3时,f(x)0,即f(x)f(3)f(-2)B.f(-)f(-2)f(3)C.f(3)f(-2)f(-)D.f(3)f(-)f(-2)【解析】选A.因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-)=f(),又f(x)在0,+)上单调递增,且23f(3)f(2),即f(-)f(3)f(-2).二、填空题(每小题4分,共8分)5.定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x2+-x,则f(x)=_.
5、【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(0)=0; 又因为x0时,-xx2,则f(x1)-f(x2)=-=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2),又由x1x22;则x1-x20,x1x24,0,则f(x1)f(x2);故f(x)在2,+)上单调递增.8.(14分)已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.(1)试求出f(x)的表达式.(2)求出f(x)的值域.【解析】(1)当x-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),
6、则b-2=0,解得:b=2,即f(x)=x+2;由于f(x)为定义在R上的偶函数,当x1时,f(x)=f(-x)=-x+2;y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.设y=ax2+2,过点(-1,1),则a+2=1,解得a=-1,所以y=-x2+2,可见当-1x1时,f(x)=-x2+2;则f(x)=(2)当x-1时,f(x)=x+21;当-1x1时,f(x)=-x2+2(1,2;当x1时,f(x)=-x+21;函数的值域为(-,2. (15分钟30分)1.(4分)设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+)上单调递减,若x10,则()A.f(-x1)f(-x2
7、)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)f(-x2)D.f(-x1)与f(-x2)大小不确定【解析】选A.因为f(x)在R上是偶函数,且在(0,+)上单调递减,所以在(-,0)上单调递增,因为x10,所以0x1-x2,所以f(x1)f(-x2),又f(x1)= f(-x1),所以f(-x1)f(-x2).2.(4分)函数f(x)是一个偶函数,g(x)是一个奇函数,且f(x)+g(x)=,则f(x)=()A.B.C.D.【解析】选A.由题知f(x)+g(x)=以-x代x,式得f(-x)+g(-x)=,即f(x)-g(x)=+得f(x)=.3.(4分)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+
8、2)=f(x),且当x0,2)时,f(x) =2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+f(4 035)=_.【解析】因为f(x+2)=f(x),且当x0,2)时,f(x)=2x-x2,所以f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=f(4 034)=0,f(1)=f(3)=f(5)=f(7)=f(4 035)=2-1=1,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(4 035)=2 0180+2 0181=2 018.答案:2 018【加练固】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的xR,都有f(x+4)=f(x) +f(2),f(1)=4,则f(3)+f(10)的值为_.【解析】由f(x
9、+4)=f(x)+f(2),令x=-2,得f(-2+4)=f(-2)+f(2),又f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),所以f(2)=0,所以f(x+4)=f(x),又f(1)=4,所以f(3)+f(10)=f(-1)+f(2)=f(1)+f(2)=4+0=4.答案:44.(4分)已知偶函数f(x)在(-,0上单调递减,且f(2)=0,则不等式0的解集为_.【解析】根据题意,偶函数f(x)在(-,0上单调递减,则f(x)在0,+)上递增,又由f(2)=0,则在(0,2)上,f(x)0,又由f(x)为偶函数,则在(-,-2)上,f(x)0,在(-2,0)上,f(x)0f(x)(x-1)0或
10、解得:-2x2,即不等式的解集为(-2,1)(2,+).答案:(-2,1)(2,+)5.(14分)已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,aR.试判断f(x)的奇偶性.【解析】当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当a0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)f(-a),f(a)-f(-a),此时f(x)为非奇非偶函数.1.设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数,若x1+x20,x2+x30,x3+x10,则()A.f(x1)+f(x2)+f(x3)0C.f(x1)+f(x2)+f(x3)=0D.f(x1)+f(x2)f
11、(x3)【解题指南】利用函数单调性和奇偶性,分别推出f(x1)+f(x2)0,f(x2)+f(x3)0, f(x1)+f(x3)0,所以x1-x2,因为f(x)是定义在R上的减函数,所以f(x1)f(-x2),又因为f(x)是奇函数,所以f(x1)-f(x2),即f(x1)+f(x2)0推出f(x2)+f(x3)0推出f(x1)+f(x3)0,将所得三个不等式相加,可得2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)0,所以f(x1)+f(x2)+f(x3)0.2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=-x2-2x.(1)求函数f(x)的解析式.(2)若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)0恒成立,求实数t的取值范围.【解析】(1)当x0,又因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(-x2+2x)=x2-2x,所以f(x)=(2)因为f(m-1)+f(m2+t)0,所以f(m-1)-f(m2+t),又f(x)是奇函数,所以f(m-1)-t-m2恒成立,所以t-m2-m+1=-+恒成立,所以t,即实数t的取值范围为.
