第十章 坐标系之间的换算 1 三维坐标系间的变换 2 二维坐标系间的变换 3 一维坐标系间的变换 1 三维坐标系间的变换 一 不同空间直角坐标系的换算 地球坐标系统 表示方式 笛卡儿坐标 参考面 曲线坐标 参心总地球椭球 投影平面大地体参考椭球 坐标系 中心 地心站心 参心空间 直角坐标系 地心空间 直角坐标系 平面直角坐标 高斯平面 直角坐标系 地心大地 坐标系 参心大地 坐标系 天文 坐标系 割平面空间 直角坐标系 导弹发射 坐标系 垂线测量 坐标系 法线测量 坐标系 参心 参心空间直角坐标系间 如 克氏椭球 IAG75椭球 参心 地心空间直角坐标系间 如 克氏或IAG75椭球 WGS 84椭球 三个变换公式 布尔莎 范士 莫洛金斯基 对于坐标换算而言等价 推导布尔 莎公式如下 ZT Z P eZ Y eY O eX OT YT X XT 如图所示 Pi在不同坐标系中的坐标 XT X0 1 dK R e X 10 28 式中 XT Pi在坐标系OT XTYTZT中的坐标向量 X Pi在坐标系O XYZ中的坐标向量 X0 原点平移向量 X0 X Y Z T dK 尺度变化系数 R e 旋转矩阵 当已知转换参数 X0 dK R e 时 可按上式将Pi点的X坐标系坐标换算为XT坐标 系的坐标 按最小二乘原则求解转换参数 X0 dK R e 如下 因旋转角e 很小 有sine e 和cose 1 若忽略e 二阶微小量 则旋转阵 代入 10 28 式 忽略二阶微小量dKQXi得 XTi X0 R e dKXi R e Xi X0 E Q dKXi E Q Xi X0 dKXi Xi QXi 顾及 则 10 28 式为 此即用于两空间直角坐标系相互变换的布尔莎七参数公式 若上式中eX eY 0 eZ 0 则上式为五参数转换模型 若再有eZ 0 则上式为 四参数转换模型 若尺度比参数亦为零 则得三参数转换模型 三参数转换公式是在假设两坐标系间各坐标轴相互平行 即轴系间不存在欧勒角 的条件下导出的 这在实际情况中往往是不可能的 在欧勒角不大 求得欧勒角误差 和欧勒角本身数值属同一数量级时 可以近似地这样处置 此种情况在国内外一些坐 标换算中屡见不鲜 如北美坐标系相对于地心坐标系的三参数是X0 22m Y0 157m Z0 176 欧洲坐标系相对于地心坐标系的三参数是X0 84m Y0 103m Z0 127m等 我国地心坐标系转换参数 DX 1 也属三个转换参数 设 则误差方程 法方程 当根据多个公共点按最小二乘法求解转换参数时 对每个点有观测方程 单位权方差 式中权阵 二 不同大地坐标系间的换算 顾及到 有 不同大地坐标系间的换算除了具有原点平移 欧勒角 尺度比七个转换参数 还 有两个系统采用不同椭球产生的两个地球椭球转换参数 不同大地坐标系统的换算公 式又称大地坐标微分公式 介绍大地坐标换算的布尔莎公式如下 X Y Z是B L H a a 的函数 全微分有 上式中 顾及全部七参数和椭球变化的广义大地微分公式为 见式10 78 练习及作业 1 阅读 10 4 2 理解 理解不同空间直角坐标系 理解不同大地坐标系 各变换参数的意义 式中 x0 y0 坐标平移 K 尺度比系数 R e 正交阵 旋转阵 2 二维坐标系间的变换 XT X分别表示oT xTyT及o xy两平面直角坐标系中的坐标向量 将X换算成XT 二维坐标变换公式如下 XT X0 KR e X 如上变换公式可写成下式形式 xT x Kxsine Ky Kysine e e Kycose P y0 o Kx x0 y oT yT Kxcose x0 y0 K e 为坐标变换参数 xT yT 点在oT xTyT坐标系统内的坐标 x y 点在o xy坐标系统内的坐标 上式即 xT x0 Kxcose Kysine yT y0 Kxsine Kycose 线性化 引入附加未知数 p Kcose q Ksine 根据最小二乘原理求定最或然变换参数 x0 y0及附加未知数p q 并按下式 求出另外两个转换参数 xT x Kxsine Ky Kysine e e Kycose P y0 o Kx x0 y oT yT Kxcose 说明 1 设o xy网中有N个点 需换算出它们在oT xTyT系统中的坐标 设两系统共有 的点为n个 N n 2 n 2是本法的特例 根据n个点求出4个最或然变换参数 依据二维坐标变换公式得到N个点在oT xTyT系统中的坐标 2 旧坐标系的控制点换算到新坐标系中 如BJ 54 国家80 可将旧网的全 部观测资料 与新网的观测资料一起 重新整体平差 计算出各点的新值 此为 换算的严密方法 但要求旧网观测资料齐全 且重新计算工作量大 本节方法N n 是近似方法 3 若用本节方法将GPS点转到局部平面参考系中 如WGS 84 BJ 54或国家 80 应 根据大地坐标系与空间直角坐标系关系公式计算 B L GPS 高斯正算求出 x y GPS 按本节公式进行二维平面坐标的转换 3 一维坐标系间的变换 三维坐标系变换包括了二维平面坐标系和一维高程坐标系变换 三维坐标系间的 转换参数为7个 平面坐标系间的转换参数是4个 高程坐标系间的转换参数必有3个 由 1和 2知 3个转换参数应包含1个平移参数和2个旋转参数 故将变换公式写 成形如 N i N a1xi a2yi 式中 N是平移参数 大地水准面差距 a1和a2是相对于椭球面东西和南北方向的 旋转 倾斜 参数 xi yi为公共点的本地平面坐标 若测区有3个既有正高 又有GPS高程的公共点 即可求得3个转换参数 实际应 用中公共点多余3个 按最小二乘法解算转换参数 进而按上式求得测区任意点的 大地水准面差距 实现高程系间 一维 变换 若上述讨论的是正常高 则N 应为z 高程异常或高程差异 实际运用中 这种把测区的 似 大地水准面假定为平面的拟合模型 要求测区 面积较小且地形十分平坦 计算出来的高程异常与正常高 精度一般不高 如果把测 区的似大地水准面看成一个二次曲面 则相对更符合对似大地水准面的描述 对于测区面积不是很大 特别是测区内高程异常的变化有规律且地形变化平缓的 地区 在公共点分布均匀的情况下 能够达到比较理想的精度 大地水准面是一个物理曲面 无论用规则的平面或曲面来逼近 都不可避免地存 在模型误差 所以GPS高程只是在一定精度范围内可以转换并代替正 常 高 GPS高程往往能快速得到高精度的高差 而使其得到更多应用 如沉陷观测中 测定了某点不同时间的高程 则高差 大地水准面差距之差 N 很小 从而得到精确的高程变化 高差 同样 如大地水准面相对椭球面保持常数倾斜 可利用上述GPS精确高差精密地 推算正高 将上式展开成二次曲面拟合模型 。