飞轮转动惯量JF的近似计算

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1、第七章 机械的运转及其速度波动的调节 7 1概述 一 本章研究的内容及目的 1 机器在一般情况下 原动件的速度和加速度是随时 间而变化的 为了对机构进行精确的运动分析和力分析 确定各构件在运动过程中所产生的实际惯性力的大小 需要首先确定机构原动件的真实运动规律 2 研究机械运转速度的波动及其调节方法 二 机械运转的三个阶段 1 起动阶段 图7 l所示为机械原动件的角速度 随时间t变化的曲线 图7 1 起动阶段 0 m 则E1 0 E 故Wd W r Wr Wf 所以机 械内积蓄了动能E 根据动能 dynamic energy 定理 在起动阶段的功能关 系可以表示为 Wd W r E 7 1 2

2、 稳定运转阶段 这一阶段中原动件的平均角速度 m保持稳定 即为一常数 但 原动件的角速度 会出现周期性波动 且在一个周期的始末 其角 速度 是相等的 因而机械具有的动能也是相等的 所以就一个周 期 机械原动件角速度变化的一个周期又称为机械的一个运动循环 而言 机械的总驱动功与总阻抗功是相等的 即 Wd W r 这种稳定运转称之为周期变速稳定运转 如活塞式压缩机等机械的运 转情况即属此类 而另外一些机械 如鼓风机 风扇等 其原动件 的角速度 在稳定运转过程中恒定不变 即 常数 则称之为等 速稳定运转 7 2 3 停车阶段 在机械停止运转的过程中 Wd 0 当阻抗功逐渐将机械具 有的动能消耗完了时

3、 机械便停止运转 这一阶段的功能关系可用下 式表示 E W r 1 作用在机械上的驱动力 7 3 三 作用在机械上的驱动力和阻抗力 1 驱动力为常量 2 驱动力是位移的函数 3 驱动力是速度的函数 2 作用在机械上的生产阻力 1 生产阻力是常量 2 生产阻力随位移而变化 3 生产阻力随速度而变化 4 生产阻力随时间而变化 7 2 机械的运动方程式 一 机械的运动方程式的一般表达式 研究机械的运转问题时 需要建立作用在机械上的力 构件的质量 转 动惯量和其运动参数之间的函数关系 亦即建立机械的运动方程 设某机械系统在某一瞬间总动能的增量为dE 则根据动能定理 此动能 增量应等于在该瞬间内作用于该

4、机械系统的各外力所作的元功之和dW 即 对于只有 一个自由度的机械 描述它的运动规律只需要一个广义坐标 因此 只需要确定出该坐标随时间变化的规律即可 下面以图7 2所示的曲柄滑块机构为例加以具体说明单自由度 机械系 统的运动方程的建立方法 7 4 设已知 曲柄1为原动件 角速度 1 质心S1在O点 转动惯量为 J1 连杆2角速度 2 质量为M2 对质心S2的转动惯量为J2 速度 为VS2 滑块3质量为M3 质心S3在B点 速度VB3 则该机构在dt 瞬间的动能增量为 于是 可得出此曲柄滑块机构的运动方程式为 7 5 同理 如果机构系由n个活动构件组成 则动能的一般表达式 为 图 7 3 图 7

5、 2 7 6 瞬时功率的一般表达式为 上式中 若Mi与 i同向 则取 反之取 号 机械运动方程式的一般表达式 二 机械系统的等效动力学模型 仍以图7 2所示的曲柄滑块机构为例来说明 现选曲柄1的转角 1为 独立的广义坐标 并将式 7 5 改成如下形式 又令 7 7 7 8 7 9 7 10 7 11 而由式 7 10 可以看出 Je具有转动惯量的量纲 故称为等效转动 惯量 一般表达式可以写成函数式 又由式 7 11 可知 Me具有力矩的量纲 故称之为等效力矩 一般 函数表达式为 故式 7 9 的运动方程式可以写成如下形 上述推导可以理解为 对于一个单自由度机械系统的运动的研究 可 以简化为对其

6、一个具有等效转动惯量Je 在其上作用有等效力矩Me t 的假想构件的运动的研究 这一假想的构件称为等效构件 显然 具有等效转动惯量Je 的等效构件的动能将等于原机械系统的动能 而 作用于其上的等效力矩Me t 的瞬时功率将等于作用在原机械系统 上的所有外力在同一瞬时的功率和 所以我们把具有等效转动惯量 其上 作用有等效力矩的等效构件 图7 3 a 称为原机械系统的等效动力学模型 7 12 7 13 7 14 等效构件也可选用移动构件 例如 在图7 2所示的曲柄滑块机构中 如选取滑块3为等效构件 其广义坐标为滑块的位移S3 图7 3 b 则 有 上式左端方括号内的量 具有质量的量纲 设以me表示

7、 即令 而式 7 15 右端括号内的量 具有力的量纲 设以Fe表示 即令 于是可得以滑块3为等效构件时所建立的运动方程式为 式中me称为等效质量 Fe称为等效力 7 15 7 16 7 17 7 18 取转动构件为等效构件 则等效转动惯量和等效力矩一般计算公式为 取移动构件为等效构件时 则等效质量与等效力的一般计算公式为 7 19 7 20 7 21 7 22 7 3 稳定运转状态下机械的周期性速度波动及其调节 一 产生周期性速度波动的原因 在机械上的驱动力矩和阻抗力矩往往是原动件转角 的周期性函数 其 等效力矩Med与Mer必然也是等效构件转角 的周期性函数 如图7 4 a所示为某一机械在稳

8、定运转过程中 其等效构件在一个周期 T中所受等效驱动力矩Mer 与等效阻抗力矩Mer 的变化曲线 在等效构 件转过 角时 设起始位置为 a 其驱动功与阻抗功分别为 图 7 4 图 7 5 机械动能的增量为 由上式计算得到的机械动能E 的变化曲线如图7 4 b所示 分析 bc段 由于Med Mer 故Wd Wr 即 Wbc 0 E 0 则称之 为盈功 在这一段运动过程中 等效构件的角速度由于动能的增加而上升 cd段 由于Med Mer 故Wd Wr 即 Wcd 0 E 0 则称之 为亏功 在这一阶段 等效构件的角速度由于动能减少而下降 但在一个公共周期内 驱动功等于阻抗功 机械动能的增量等于零

9、即 7 23 7 24 7 25 7 26 于是经过等效力矩与等效转动惯量变化的一个公共用期 机械的动能 又恢复到原来的值 因而等效构件的角速度也将恢复到原来的数值 由此 可知 等效构件的角速度在稳定运转过程中将呈现周期性的波动 如图7 4 a所示 算出各区间功的增量后 就可以画出机械系统在一 个运动循环内功的增量变化曲线 如图b 由图可知 最大盈亏功 maximum difference work between plus and minus work 为 Wmax Emax Emin Wbc 由于 Wmax只与曲线的峰 谷顶有关 与其具体的形状无关 故为简 化计算 用功能指示图 indic

10、ator diagram of energy 代替它 如图7 4 c所 示 二 周期性速度波动的调节 1 平均角速度 m和速度不均匀系数 衡量速度波动 velocity fluctuation 程度的 几个参数 图7 6所示为在一个周期内等效构件角速 度的变化曲线 其平均角速度 m为 图 7 6 机械速度波动的程度不能仅用速度变化的幅度 max min来表示 平均角 速度 m也是一个重要指标 综合考虑这两方面的因素 故用机械运转速 度不均匀系数 来表示机械速度波动的程度 其定义为 7 27 7 28 部分机械的许用运转速度不均匀系数 机 器 名 称不均匀系数 机 器 名 称不均匀系数 石料破碎

11、机造纸机 织布机 农业 机械压缩 机 冲床 剪床 锻 床 纺纱 机 轧钢 机内燃机 金属切削机床直流发电 机 汽车 拖拉机交流发电 机 水泵 鼓风机汽轮发电 机 2 飞轮的简易设计方法 1 飞轮 flywheel 调速的基本原理 由图7 4 b可见 在b点处机械出现能量最小值Emin 而在c点处出现能 量最大值Emax 故在 b与 c之间将出现最大盈亏功 Wmax 即驱动功 与阻抗功之差的最大值 其值可由下式计算 即 如果忽略等效转动惯量中的变量部分 即设机械的等效转动惯量Je 常数 则当 b时 min 当 c时 max 而为了调节机械 的周期性速度波动 设在机械上安装的飞轮的等效转动惯量为J

12、F 则由式 7 29 可得 而由上式可导出 对于一具体的机械系统而言 由于最大盈亏功 平均角速度及构件的 等效转动惯量都是确定的 故由式 7 31 可知 当在机械上安装一具有足 够大转动惯量的飞轮后 可以使得速度不均匀系数下降到其许用值范围之 内达到调节机械周期性速度波动的目的 2 飞轮转动惯量JF的近似计算 由上述推倒可得飞轮的等效转动惯量JF的计算公式为 7 30 7 31 10 32 7 29 如果Je JF 则J e可以忽略不计 于是上式可近似写为 又如果上式中的平均角速度用额定转速n r min 代替 则有 应当指出 飞轮之所以能调速是利用了它的储能作用 这是由于飞 轮具有很大的转动

13、惯量 因而要使其转速发生变化 就需要较大的能量 当机械出现盈功时 飞轮轴的角速度只作微小上升 即可将多余的能量吸 收储存起来 而当机械出现亏功时 机械运转速度减慢 飞轮又可将其储 存的能量释放 以弥补能量的不足 而其角速度只作小幅度的下降 因此可以说 飞轮实质上是一个能量储存器 它可以用动能的形式把 能量储存或释放出来 7 33 7 34 五 实例与分析 例1 某刨床的主轴为等效构件 在一个运转周期内的等效驱动力矩如下图所 示 等效驱动力矩为常数 刨床的主轴的平均转数 n 60r min 运转不均匀系数 0 1 若不计飞轮以外的构件的转动惯量 计算安装在主轴上的飞轮转动惯量 解 在一个运转周期

14、内 等 效驱动力矩与等效阻抗力矩 作的功相等 作一条代表 平行 轴 的直线 在一个周期内与M 轴 及周期末端线的交点为 A B C D E F 设周期开始点的动能为 则其余各 点的动能分别为 代入简易公式中 7 4 机械的非周期性速度波动及其调节 如果机械在运转过程中 等效力矩的变化是非周期性的 则机械运转 的速度将出现非周期性的波动 从而破坏机械的稳定运转状态 若长时间 内Med Mer则机械将越转越快 甚至可能会出现 飞车 现象 从而使机械 遭到破坏 反之 若Mer Med 则机械又会越转越慢 最后将停止不动 因而不能使用飞轮进行调节 这时通常是安装一种专门的调节装置 调 速器来调节机械出现的非周期性速度波动 调速器的种类很多 现举图7 7所示的燃气涡轮发动机中采用的离心式调速器的工作原理图简要说明其 工作原理 图中 以 转动的轴与发动机连 接在一起 当负载增大 发电机转速 降低 由于离心力的减小 将使活塞 右移 从而增大进油口 实现增加进 油量 以实现与负载的动态平衡 反 之亦然 图 7 7