《二次函数与几何图形综合题针对训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数与几何图形综合题针对训练（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题二次函数与几何图形综合题 类型一线段数量关系 最值问题 1 2019 滨州 如图 抛物线y 1 8x 2 1 2x 4 与 y 轴交于点 A 与 x 轴交于点 B C 将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转90 所得直线与x 轴交于点D 1 求直线 AD 的函数解析式 2 如图 若点P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点 当点 P 到直线 AD 的距离最大时 求点P的坐标和最大距离 当点 P 到直线 AD 的距离为 5 2 4 时 求 sin P AD 的值 第 1 题图 2 如图 直线y x 2 与抛物线 y ax 2 bx 6 相交于 A 1 2 5 2 和 B 4 c 1 求抛物线的解
2、析式 2 点 P 是直线 AB 上的动点 设点P 的横坐标为n 过点 P 作 PC x 轴 交抛物线于点C 交 x 轴于 点 M 当点 P 在线段 AB 上运动时 点 P 不与点 A B 重合 是否存在这样的点P 使线段PC 的长有最大 值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明理由 针对训练 点 P 在直线 AB 上自由移动 当点C P M 中恰有一点是其他两点所连线段的中点时 请直接写出 n 的值 第 2 题图 类型二面积数量关系 最值问题 1 2019 成华区一诊 如图 抛物线经过原点O 与 x 轴交于点A 4 0 且经过点B 4 8 1 求抛物线的解析式 2 设直线 y kx 4 与
3、抛物线两交点的横坐标分别为x1 x2 x1 x2 当 1 x2 1 x1 2 2 时 求 k 的值 3 连接 OB 点 P 为 x 轴下方抛物线上一动点 过点P 作 OB 的平行线交直线AB 于点 C 连接 OC OP 当 S POC S BOC 1 2 时 求点 P 的坐标 第 1 题图 针对训练 2 2019 武侯区一诊 如图 在平面直角坐标系中 直线y mx 3 与抛物线交于点A 9 6 与 y 轴 交于点 B 抛物线的顶点C 的坐标是 4 11 1 分别求该直线和抛物线的函数表达式 2 D 是抛物线上位于对称轴左侧的点 若 ABD 的面积为 81 2 求点 D 的坐标 3 在 y 轴上
4、是否存在一点P 使 APC 45 若存在 求出满足条件的点P 的坐标 若不存在 请说 明理由 类型三特殊三角形存在性问题 1 2019 武侯区二诊 如图 抛物线 y x 2 m 2 x 4 的顶点 C 在 x 轴正半轴上 直线 y x 2 与抛物 线交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 1 求抛物线的函数表达式 2 点 P 是抛物线上一点 若S PAB 2S ABC 求点 P 的坐标 3 将直线 AB 上下平移 平移后的直线y x t 与抛物线交于A B 两点 A 在 B 的左侧 当以点 A B 2 中第二象限的点P 为顶点的三角形是直角三角形时 求t 的值 针对训练 类型四特殊四边形
5、存在性问题 1 2019 高新区二诊 如图 在同一直角坐标系中 抛物线C1 y ax 2 2x 3 与抛物线 C2 y x 2 mx n 关于 y 轴对称 C2与 x 轴交于 A B 两点 其中点A 在点 B 的左侧 交y 轴于点 D 1 求 A B 两点的坐标 2 过抛物线C2 y x 2 mx n 在第三象限上的一点 P 作 PF x 轴于点 F 交 AD 于点 E 若 E 关于 PD 的对称点E 恰好落在y 轴上 求P 点的坐标 3 在抛物线C1上是否存在一点 G 在抛物线C2上是否存在一点Q 使得以A B G Q 四点为顶点 的四边形是平行四边形 若存在 求出G Q 两点的坐标 若不存
6、在 请说明理由 针对训练 类型五相似三角形问题 1 2019 金牛区一诊 如图 在平面直角坐标系中 抛物线y ax 2 bx c a 0 与 x 轴的两个交点分别 为 A 3 0 B 1 0 与 y 轴交于点D 0 3 过顶点C 作 CH x 轴于点 H 1 求抛物线的解析式和顶点C 的坐标 2 连接 AD CD 若点 E 为抛物线上一动点 点 E 与顶点 C 不重合 当 ADE 与 ACD 面积相等时 求点 E 的坐标 3 若点 P 为抛物线上一动点 点 P 与顶点 C 不重合 过点 P 向 CD 所在的直线作垂线 垂足为点Q 以 P C Q 为顶点的三角形与 ACH 相似时 求点P 的坐标
7、 第 1 题图备用图 针对训练 参考答案 类型一线段数量关系 最值问题 1 解 1 抛物线 y 1 8x 2 1 2x 4 令 x 0 可得 A 点的坐标为 0 4 令 y 0 可得 B 点的坐标为 4 0 C 点的坐标为 8 0 易得直线AB 的函数解析式为y x 4 OA OB BAO 45 又 直线AD 由直线 AB 逆时针旋转90 而来 BAD 90 OAD 45 OAD 为等腰直角三角形 OD OA 4 D 4 0 易得直线AD 的函数解析式为y x 4 2 如解图 过点P 作 PE x 轴交 AD 于点 E PF AD 于点 F 第 1 题解图 易得 PEF 为等腰直角三角形 PF
8、 2 2 PE 当 PE 取得最大值时 PF 取得最大值 设 P x 1 8x 2 1 2x 4 则 E x x 4 PE 1 8x 2 1 2x 4 x 4 1 8x 2 3 2x 1 8 x 6 2 9 2 当 x 6 时 PE 有最大值 9 2 此时 PF 有最大值 9 2 4 当 x 6 时 1 8x 2 1 2x 4 5 2 当点 P 到直线 AD 的距离最大时 点P 的坐标为 6 5 2 最大距离为 9 2 4 如解图 连接 AP 过点 P 作 PE x 轴 交 AD 于点 E PF AD 于点 F 当点 P 到 AD 的距离为 52 4 时 PF 52 4 则此时 PE 2PF
9、5 2 将 PE 5 2代入 PE 1 8 x 6 2 9 2中 解得 x1 10 x2 2 此时点P 的坐标为 10 7 2 或 2 9 2 当点 P 的坐标为 2 9 2 时 AP 2 2 9 2 4 2 17 2 sin PAD 52 4 17 2 5 34 34 当点 P 的坐标为 10 7 2 时 AP 10 2 7 2 4 2 25 2 sin PAD PF AP 52 4 25 2 2 10 综上 sin PAD 的值是 534 34 或 2 10 第 1 题解图 2 解 1 B 4 c 在直线 y x 2 上 c 6 则 B 4 6 A 1 2 5 2 B 4 6 在抛物线 y
10、 ax 2 bx 6 上 1 4a 1 2b 6 5 2 16a 4b 6 6 解得 a 2 b 8 故抛物线的解析式为y 2x2 8x 6 2 存在 设点 P 的坐标为 n n 2 1 2 n 4 则点 C 的坐标为 n 2n 2 8n 6 PC n 2 2n2 8n 6 2n 2 9n 4 2 n 9 4 2 49 8 2 0 1 2 n 4 当 n 9 4时 线段 PC 的长取得最大值 49 8 n 的值为 5 21 2 或 17 129 8 解法提示 设P 的坐标为 n n 2 则点 C 的坐标为 n 2n2 8n 6 易知抛物线与x 轴交点坐标 为 1 0 3 0 直线与x 轴交点坐
11、标为 2 0 若 M 点为 PC 的中点 此时n 2 或 1 n4 或 2 n 1 2 则 PM PC CM 2PM 即 2n 2 8n 6 2 n 2 整理得 n2 5n 1 0 解 得 n1 5 21 2 n2 5 21 2 n1 n2均满足条件 若 C 点为 PM 的中点 此时 1 2 n 1 或 3 n0 解得 m 2 m 6 抛物线的函数表达式为y x2 4x 4 2 如解图 过点C 作抛物线的对称轴 交直线AB 于点 D 由 y x2 4x 4 得抛物线的对称轴是直线x 2 则 D 2 4 DC 4 在点 D 上方的抛物线的对称轴上取一点E 使 DE 2DC 则 E 2 12 连接
12、 AE BE 则 S ABE 2S ABC 过点 E 2 12 作直线 AB 的平行线交抛物线于点P1 P2 此时满足S P AB S ABE 2S ABC 设直线 P1P2的函数表达式为y x k 点 E 2 12 在直线 P1P2上 2 k 12 k 10 直线 P1P2的函数表达式为y x 10 联立 y x 10 y x 2 4x 4 解得 x1 1 y1 9 或 x2 6 y2 16 综上所述 满足条件的点P 的坐标为 1 9 6 16 第 1 题解图 3 设 A x1 y1 B x2 y2 显然 PA B 90 如解图 当 A B P 90 时 过点B 作直线 MN y 轴 A M
13、 MN 于点 M PN MN 于点 N 直线 A B 的解析式是y x t B A M 45 A B M 和 PB N 都是等腰直角三角形 PN NB x2 1 9 y2 即 x2 y2 8 联立 x2 y2 8 y2 x2 t 解得 x2 4 1 2t y2 4 1 2t 将点 4 1 2t 4 1 2t 代入抛物线的函数表达式 得 4 1 2t 4 1 2t 2 4 4 1 2t 4 解得t1 0 t2 10 此时点 A 与点 P 重合 舍去 第 1 题解图 如解图 若 A PB 90 过点 P 作 EF y 轴 A E EF 于 E B F EF 于点 F 则 A EP PFB A E
14、PE PF B F x1 1 9 y1 y2 9 x2 1 x1x2 x1 x2 1 9 y1 y2 y1y2 81 令 x2 4x 4 x t 即 x2 5x 4 t 0 则 x1 x2 5 x1x2 4 t y1 y2 x1 t x2 t x1 x2 2t 5 2t y1y2 x1 t x2 t x1x2 t x1 x2 t 2 t2 4t 4 4 t 5 1 9 5 2t t2 4t 4 81 整理得 t 2 15t 50 0 解得 t1 5 t2 10 此时 A 与 P 重合 舍去 综上 t 的值为 0 或 5 第 1 题解图 类型四特殊四边形存在性问题 1 解 1 C1 C2关于 y
15、 轴对称 C1与 C2的交点一定在y 轴上 且C1与 C2的形状 大小均相同 a 1 n 3 C1的对称轴为直线x 1 C2的对称轴为直线x 1 m 2 C1的函数表达式为y x2 2x 3 C2的函数表达式为y x2 2x 3 0 在 C2的函数表达式y x2 2x 3 中 当 y 0 可得 x2 2x 3 0 解得 x 3 或 x 1 A 3 0 B 1 0 2 根据题意可得点D 的坐标为 0 3 设直线AD 的表达式为y kx b 把 0 3 和 3 0 代入到 y kx b 中得 b 3 3k b 0 解得 b 3 k 1 直线 AD 的表达式为y x 3 设 P a a 2 2a 3
16、 则 E a a 3 则 PE a 3 a2 2a 3 a2 3a 根据对称可得四边形PEDE 是菱形 则 DE PE a2 3a 如解图 过点P 作 PG y 轴于点 G ED PE ED 所在直线斜率k 1 E AEF 45 GE a PG GE 在 Rt PGE 中 根据勾股定理得 PE 2a 根据菱形性质可得 PE DE 2a a2 3a 解得 a 2 3 P 2 3 2 4 2 第 1 题解图 3 存在 AB 的中点为 1 0 且点 G 在抛物线C1上 点 Q 在抛物线C2上 AB 只能为平行四边形的一边 GQ AB 且 GQ AB 由 1 可知 AB 1 3 4 GQ 4 设 G t t 2 2t 3 则 Q t 4 t2 2t 3 或 t 4 t2 2t 3 当 Q t 4 t2 2t 3 时 则 t2 2t 3 t 4 2 2 t 4 3 解得 t 2 t2 2t 3 4 4 3 5 G 2 5 Q 2 5 当 Q t 4 t2 2t 3 时 则 t2 2t 3 t 4 2 2 t 4 3 解得 t 2 t2 2t 3 4 4 3 3 G 2 3 Q 2 3 综上可知
