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1、抽象函数的导数问题 所谓抽象函数,即函数解析式未知的函数,这几年很流行抽象函数与导数结合的问题,此类问题一般有两种方法:(1) 根据条件设法确定函数的单调性;(2) 要根据题目给定的代数形式,构造函数,确定单调性,而构造什么样的函数,一方面要和已知条件含有的式子特征紧密相关,这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式;另外一方面,由于此类问题往往是选填题,问题的结构往往有一定的暗示,所以务必要结和问题的结构,构造适合的抽象函数【求导的四则运算】法则1 . 法则2 .法则3 .例1、(2006江西卷)对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A. B. C. D . 分析:这个题目
2、的条件 ,实际上不能构造函数,它其实是告诉我们这个函数的单调性,具体来说:由得:(1)且,于是在上单调递增;(2)且,于是上单调递减;综上可知的最小值为,得,选C【典型构造】若条件是,可构造,则单调递增;若条件是,可构造,则单调递增;若条件是,可构造,则单调递增;若条件是,可构造,则,若,则单调递增;例2、是R上的可导函数,且,求的值分析:构造,则,所以单调递增或为常函数,而,所以,故,得例3、(07陕西理)是定义在上的非负可导函数,且满足对任意正数,若,则必有( )AB C分析:选项暗示我们,可能用得到的函数有两种可能,或,下面对他们分别求导,看看哪个能利用上已知条件:,因为,得,则,故,于
3、是由得,即,选A例3、定义在上的函数,导数为,且,则下式恒成立的是( )A. B. C. D. 解:因为,所以,即,构造,则,所以单调递增,因,所以,即,即,选D练习1、已知函数满足,且在上,则不等式的解集为( )A. B. C. D. 解析:构造,则,故为奇函数,且在上,故是增函数,而,故只需,得,选B2、设在上可导,且,则当有( ) 解析:构造函数,则易知单调递增,于是,选C3、(2011高考辽宁)函数的定义域为,,对任意,则的解集为( )A. B. C. D. 解析:构造函数,则,所以在R上单调递增,又因为,则,于是的,选B4、已知函数满足,导函数,则不等式的解集为( )A. B. C.
4、 D. 解析:构造函数,则,所以函数单调递减,而,等价于,得,选D;5、是定义在R上的可导函数,且满足对任意正数,若,则必有( )(资料来源:长风数学工作室QQ群6817428)AB CD解析:构造,可知递增,故选B;6. (2009天津) 设在R上的导函数为,且,则下面的不等式在R上恒成立的有( ) AB CD 解析:构造函数,则,当时,由,得;当时,得,于是在上单调递增,故,则;当时,得,则在上单调递减,故,则;综上可知 选A7、在R上的导函数为,且,且,则下面的不等式成立的有( ) AB CD 解析:构造,则单调递增,则,即,故选A8、函数的导函数为,对任意的实数,都有成立,则( )AB
5、 CD解析:构造,则单调递增,则,即,故选B9、设函数满足,则当时,()A有极大值,无极小值B有极小值,无极大值 C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析:由已知得,设,求导得,易得在且是恒成立,因此在且是恒成立,而,说明在时没有极大值也没有极小值 选D10、若定义在上的函数 满足 ,其导函数 满足 ,则下列结论中一定错误的是( )A B C D 【解析】由已知条件,构造函数,则,故函数在上单调递增,且,故,所以,所以结论中一定错误的是C,选项D无法判断;构造函数,则,所以函数在上单调递增,且,所以,即,选项A,B无法判断,故选C11、设函数是奇函数的导函数,当时,则使得成立的的取值范围是( )A BC D