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1、2014-2015学年广西梧州、崇左两市联考高三(上)摸底数学试卷(理科)一、选择项:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合M=x|(x+1)(x3)0,xR,N=1,0,1,2,3,则MN等于()A 0,1,2B1,0,1C1,0,2D1,2,32已知复数z满足(1+i)z=2i,则z=()A 1iB1iC1iD1i3设向量,满足|+|=,|=1,|=2,则等于()A BCD4已知双曲线C:=1(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A y=2xBy=xCy=xDy=x5已知(1+ax)(1x)2的展开式中x2的系数为5
2、,则a等于()A 1B1C2D26执行如图所示的程序框图,输出的k值为()A 3B4C5D67若某物体的三视图如图所示,则该物体的体积是()A 10+6B10+20C14+5D14+208已知不等式组,则目标函数z=2yx的最大值是()A 1B1C5D49设函数f(x)=sin2x+cos2x,若将函数f(x)的图象向右平移个单位,所得图象对应函数为g(x),则()Af(x)的图象关于直线x=对称,g(x)图象关于原点对称Bf(x)的图象关于点(,0)对称,g(x)图象关于直线x=对称Cf(x)的图象关于直线x=对称,g(x)图象关于原点对称Df(x)的图象关于点(,0)对称,g(x)图象关于
3、直线x=对称10已知函数f(x)=x3+ax29x+1,下列结论中错误的是()Ax0R,f(x0)=0B“a=3”是“3为f(x)的极大值点”的充分不必要条件C若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(x0,+)单调递增D若3是f(x)的极值点,则f(x)的单调递减区间是(1,3)11已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3,则弦AB的中点到准线的距离为()A BC2D112若存在x使不等式成立,则实数m的取值范围为()A BC(,0)D(0,+)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13若曲线y=aln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=_14设
4、ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=,cosC=,则sinB=_15若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上是单调增函数如果实数t满足时,那么t的取值范围是_16将a,b都是整数的点(a,b)称为整点,若在圆x2+y26x+5=0内的整点中任取一点M,则点M到直线2x+y12=0的距离大于的概率为_三、解答题:本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(10分)设数列an是公比为正数的等比数列,a1=2,a3a2=12(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn是首项为1,公差为2的等差数列,求数列an+bn的前n项和Sn18(
5、12分)如图,DA平面ABC,DAPC,ACB=90,AC=AD=BC=1,PC=2,E为PB的中点()求证:DE平面ABC;()求二面角ECDB的余弦值19(12分)甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投2次,甲先投,若有人投中即停止投篮,结束游戏,已知甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为求:()乙投篮次数不超过1次的概率()记甲、乙两人投篮次数和为,求的分布列和数学期望20(12分)如图,已知椭圆的右顶点为A(2,0),点P(2e,)在椭圆上(e为椭圆的离心率)(1)求椭圆的方程;(2)若点B,C(C在第一象限)都在椭圆上,满足,且,求实数的值21(14分)已知函数f(
6、x)=exmln(2x)()设x=1是函数f(x)的极值点,求m的值并讨论f(x)的单调性;()当m2时,证明:f(x)ln2请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时标出所选题目的题号.【选修4-1:几何证明选讲】22(10分)如图,已知AB是O的直径,CD是O的切线,C为切点,连接AC,过点A作ADCD于点D,交O于点E()证明:AOC=2ACD;()证明:ABCD=ACCE【选修4-4:坐标系与参数方程】23在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心的极坐标为(,),半径r=,点P的极坐标为
7、(2,),过P作直线l交圆C于A,B两点(1)求圆C的直角坐标方程;(2)求|PA|PB|的值【选修4-5:不等式选讲】24已知函数f(x)=|x4|t,tR,且关于x的不等式f(x+2)2的解集为1,5(1)求t值;(2)a,b,c均为正实数,且a+b+c=t,求证:+1参考答案一、选择项:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.15ACDAA6-10BCACB1112AC二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分1321415 te16三、解答题:本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17解:(1)设数列
8、an的公比为q,由a1=2,a3a2=12,得:2q22q12=0,即q2q6=0解得q=3或q=2,q0,q=2不合题意,舍去,故q=3an=23n1;(2)数列bn是首项b1=1,公差d=2的等差数列,bn=2n1,Sn=(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)=+=3n1+n218解:(1)取BC的中点F,连结EF,则EFPCDA,且EF=PC=DA=1,则四边形ADEF是平行四边形,即DEAF,DE平面ABC,AF平面ABC,DE平面ABC;(2)DA平面ABC,DAPC,PC平面ABC,ACB=90,AC=AD=BC=1,PC=2,分别以DA,CB,CP所在的直线分别为x轴,y轴,
9、z轴,建立空间坐标系如图,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(1,0,1),P(0,0,2),则E(0,1),则=(1,0,1),=(1,2,1),设=(x,y,z)是平面ECD的法向量,则,令z=1,则x=1,y=2,则=(1,2,1),设=(x,y,z)是平面BCD的法向量,令z=1,则x=1,则=(1,0,1),cos=易知二面角ECDB为锐角,故二面角ECDB的余弦值为19解:(I)记“甲投篮投中”为事件A,“乙投篮投中”为事件B“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况:一种是甲第1次投篮投中,另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中,再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投
10、篮投中,所求的概率是P=P(A+=乙投篮次数不超过1次的概率为(7分)(2)甲、乙投篮总次数的取值1,2,3,4,P(=1)=P(A)=;P(=2)=P()=;P(=3)=P()=;P(=4)=P()=;甲、乙投篮次数总和的分布列为: 1234 P(11分)甲、乙投篮总次数的数学期望为(13分)20解:(1)椭圆的右顶点为A(2,0),a=2,点P(2e,)在椭圆上,a2=4,a2=b2+c2,b2=1,c2=3,椭圆的方程为(2)设直线OC的斜率为k,则直线OC方程为y=kx,代入椭圆方程,即x2+4y2=4,得(1+4k2)x2=4,C(,),又直线AB方程为y=k(x2),代入椭圆方程x
11、2+4y2=4,得(1+4k2)x216k2x+16k24=0,xA=2,xB=,=0,+=0,C在第一象限,k0,k=,=(),=(2,0)=(,),由=,得,k=,21()解:f(x)=exmln(2x),f(x)=exm,由x=1是函数f(x)的极值点得f(1)=0,即e1m1=0,m=1 (2分)于是f(x)=ex1ln(2x),f(x)=ex1,由f(x)=ex1+0知 f(x)在x(0,+)上单调递增,且f(1)=0,x=1是f(x)=0的唯一零点 (4分)因此,当x(0,1)时,f(x)0,f(x)递减;x(1,+)时,f(x)0,f(x)递增,函数f(x) 在(0,1)上单调递
12、减,在(1,+)上单调递增 (6分)()证明:当m2,x(0,+)时,exmex2,又exx+1,exmex2x1 (8分)取函数h(x)=x1ln(2x)(x0),h(x)=1,当0x1时,h(x)0,h(x)单调递减;当x1时,h(x)0,h(x)单调递增,得函数h(x)在x=1时取唯一的极小值即最小值为h(1)=ln2(12分)f(x)=exmln(2x)ex2ln(2x)x1ln(2x)ln2,而上式三个不等号不能同时成立,故f(x)ln2(14分)请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时标出所选题目的题号.【选修4-1:几何证明选讲】22:证明:()连结BC,CD是O的切线,C为切点,ACD=ABC,OB=OC,OCB=ABC,又AOC=OCB+OBC,AOC=2ACD()AB是O的直径,ACB=90,又ADCD于D,ADC=90,CD是O的切线,C为切点,OC为半径,OAC=CAE,且OCCD,OCAD,又OC=OA,OAC=OCA=CAE=ECD,RtABCRtCED,ABCD=ACCE【选修4-4:坐标系与参数方程】23解:(1)圆C的圆心的极坐标为C(,),x=1,y=1,圆C的直角坐标方程为(x1)2+(y1)2=2(2)点P的极坐标为(2,),化为直角坐标P(2,0)