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1、实验九 离散系统Z域分析1实验目的(1) 理解并掌握系统函数的概念。(2) 掌握利用MATLAB绘制系统函数的零极点分布图。(3) 掌握系统函数零极点的分布与系统时域、频域特性之间的关系。(4) 利用MATLAB求系统函数零、极点的方法。2实验原理及方法2.1离散时间LTI系统的Z域描述线性时不变离散系统可以用如下所示的线性常系数差分方程来描述。 9-1其中y(k)为系统输出序列，f (k)为输入系列。将式9-1两边进行Z变换得： 9-2式9-2中A(z)和B(z)分别是由描述系统的差分方程的系数决定的关于z的多项式，将式9-2因式分解后有： 9-3其中C为常数，qj (j1,2,.,M)为H
2、(z)的M个零点，pi (i1,2,N)为H(z)的N个极点。由以上分析可以看出，系统函数H(z)的零、极点的分布完全决定了系统的特性，若某离散系统的零点、极点已知，则系统函数便可确定下来。 因此，系统函数的零极点分布对我们进行离散系统特性的分析具有非常重要的意义。通过对系统函数零极点的分析，我们可以分析离散系统以下几个方面的特性； (1) 系统单位响应h(k)的时域特性 (2) 离散系统的稳定性 (3) 离散系统的频率特性（幅频响应和相频响应） 要通过系统函数零极点来分析系统特性，首先就要求出系统函数的零极点，然后绘制零点、极点图。MATLAB为我们快速、高效地分析离散系统特性提供了强有力的
3、工具。下面就介绍如何利用MATLAB实现这一过程。设离散系统的系统函数为：则系统函数的零点和极点可以用MATLAB的多项式求根函数roots()来实现，调用函数roots()的命令格式为： p=roots(A)其中A为待求根的多项式的系数构成的行向量，返回向量p则是包含该多项式所有根位置的列向量。例如多项式为： 则求该多项式根的MATLAB命令应为： A=1 3/4 1/8; P=roots(A) 运行结果为：p -0.5000 -0.2500 需要注意的是，在求系统函数零极点时，离散系统的系统函数可能有两种形式，一种是分子和分母多项式均按Z的降幂次序排列，如式9-4所示：另一种是分子多项式和
4、分母多项式均按Z的升幂次序排列，如式9-5所示。上述两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。 9-4 9-5 若H(z)是以z的降幂形式排列，则系数向量一定要由多项式的最高幂次开始，一直到常数项，缺项要用0补齐。例如对式9-4所示的系统函数，其分子多项式的系数向量应为：B=1 0 2 0，分母多项式的系数向量应为：A=1 3 2 2 1。 若H(z)是以的升幂形式排列，则分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则Z=0的零点或极点就可能被漏掉，例如，对式9-5所示的系统函数，其分子多项式系数向量应为：B=1 1 0，分母多项式系数向量应为：A=1 1/2 1/41。2.2
5、系统函数的零极点分布图下面给出一个用于绘制离散时间LTI系统的零极点图的扩展函数ljdt(A,B)：function ljdt(A,B)p=roots(A); %求系统极点 q=roots(B); %求系统零点 p=p; q=q; x=max(abs(p q 1); %确定纵坐标范围 x=x+0.1; y=x; %确定横坐标范围 hold on axis(-x x -y y) %确定坐标轴显示范围 w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w); plot(t) %画单位圆 axis(square) plot(-x x,0 0) %画横坐标轴 plot(0 0,-y y) %画纵坐标轴
6、 text(0.1,x,jImz) text(y,1/10,Rez) plot(real(p),imag(p), rx,MarkerSize,10) %画极点 plot(real(q),imag(q),go,MarkerSize,10) %画零点 title(离散系统零极点图) %标注标题 上述程序中，传入参量A和B分别是要绘制零极点图的系统函数的分母和分子多项式的系数向量。例9-1：分析一个离散系统，其系统函数分别如下： 可直接运用上述绘图函数ljdt()绘出这个离散系统的零极点分布图。调用绘制零极点图程序的命令如下：A=1 -3 7 -5;B=3 -5 10 0;ljdt(A,B)运行结果
7、如图9-1所示。图9-1 离散系统零极点图2.3离散系统的零极点分布与系统稳定性与连续系统的分析一样，根据系统函数H(z)的零极点分布来分析离散系统的稳定性也是离散系统零极点分析的重要应用之一。 对任意有界的输入序列f (k)，若系统产生的零状态响应y(k)也是有界的，则称该离散系统为稳定系统，否则，则称为不稳定系统。可以证明，上述系统稳定性的定义可以等效为下列条件：(1) 时域条件：离散系统稳定的充要条件为： ， 即系统单位响应绝对求和。 (2) z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数H(z)的所有极点均位于z平面的单位圆内。离散系统稳定的时域条件和z域条件是等价的。只要考察系统函数H(
8、z)的极点分布，就可判断系统的稳定性。对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式方便地求出离散系统的极点位置，从而判断系统的稳定性。但对于高阶系统，手工求解极点位置则显得非常困难。这时可以利用MATLAB来实现这一过程。例9-2：已知某离散系统的系统函数为： 试用MATLAB求出该系统的零极点，并画出零极点分布图，判断系统是否稳定。 解：调用前面介绍的绘制离散系统零极点图函数ljdt()即可解决此问题，对应的MATLAB命令为： a=3 -1 0 0 0 1; b= 1 1; ljdt(a,b) 系统零极图如图9-2所示。从零极点图可以看出，该系统的所有极点均位于Z平面的单位圆内，故为稳定系统。
9、 图9-2 例9-2离散系统零极点图2.4零极点分布与单位响应时域特性的关系我们知道离散系统的系统函数H(z)与其单位响应h(k)之间存在着如下关系：即H(z)与h(k)是一对Z变换对。因而H(z)必然包含了h(k)的固有性质。下面来分析H(z)是如何决定h(k)的时域特性的。离散系统的系统函数可表示为关于Z的两个多项式之比，即： 9-6若系统函数的N个极点是单极点，可将H(z)进行部分分式展开为： 9-7由z逆变换可得： 9-8从式9-7和9-8可以看出，离散系统单位响应h(k)的时域特性完全由系统函数H(z)的极点位置决定。H(z)的每一个极点将决定h(k)的一项时间序列。显然H(z)的极
10、点位置不同，则h(k)的时域特性也完全不同。H(z)的极点位置分布与h(k)的时域特性之间有何规律呢？用下面的例子来说明。例9-3：已知离散系统的零极分布分别如图9-3(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)所示，其中虚线表示单位圆，试用MATLAB分析系统单位响应h(k)的时域特性。解： 系统的零极点图己知，系统的系统函数H(z)就可确定。这样就可利用绘制离散系统单位响应序列波形的MATLAB函数impz，将上述不同极点分布情况下的系统单位响应h(k)的序列波形绘制出来。图9-3 例9-3的系统零极点图图9-3(a)所示系统的系统函数为：。图9-3 (b)所示的系统系统函数为：，其中，
11、令。图9-3 (c)所示的系统系统函数为：，其中，令。图9-3 (d)所示的系统系统函数为：其中，令、。图9-3 (e)所示的系统系统函数为：，取。图9-3 (f)所示的系统系统函数为：其中，令、。程序如下：% Program9_1a=1 -1;b=1;figure(1),subplot(311),impz(b,a)title(a)系统h(k),axis(0 10 0 1.2)a=1 -0.8;b=1; subplot(312),impz(b,a)title(b)系统h(k) ),axis(0 10 0 1.2)a=1 -1.2;b=1; subplot(313),impz(b,a)title
12、(c)系统h(k) ),axis(0 10 0 7)xlabel(时间序号k)a=1 -2*0.8*cos(pi/4) 0.82;b=1;figure(2),subplot(311),impz(b,a,20)title(d)系统h(k) )a=1 -2*cos(pi/8) 1;b=1;subplot(312),impz(b,a,20)title(e)系统h(k) )a=1 -2*1.2*cos(pi/4) 1.22;b=1;subplot(313),impz(b,a,20)title(f)系统h(k) )xlabel(时间序号k)程序运行结果如图9-4所示。 图9-4(a) (a)(b)(c)
13、离散系统单位响应图9-4(b) (d)(e)(f)离散系统单位响应从上述绘制的系统单位响应序列波形，可以总结出以下规律：离散系统单位响应h(k)的时域特性完全由系统函数H(z)的极点位置决定，H(z)位于z平面单位圆内的极点决定了h(k)随时间衰减的信号分量，位于Z平面单位圆上的极点决定了单位响应的稳定信号分量，位于Z平面单位圆外的极点决定了单位响应随时间增长的信号分量。2.5离散系统的频率响应从以上的分析知道，离散系统的系统函数H(z）反映了系统本身固有的特性。当离散序列通过离散系统时，系统是如何对不同频率的输入序列进行加工和处理的呢？ 设某稳定的因果离散系统系统函数为H(z)，输入为正弦序列： 该序列可视为由连续正弦时间信号经过周期T均匀抽样而得。则上式中称为离散正弦序列的数字角频率。对输入正弦序列进行Z变换可得：
