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1、第二章练习题（答案）一、单项选择题1已知连续型随机变量X的分布函数为 则常数k和b分别为 （ A ）（A） （B） （C） （D）2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f（x）=xae-x22a,x01, x0 (a0); B. f（x）=12cosx, 0 x0, 其他C. f（x）=cosx, -2 x20, 其他 D. f（x）=sinx, -2 x0, 求: (1) 常数A、B; (2) ; (3) 概率密度f (x).（1）A=1/2,B=1/; (2)1/3; (3) f(x)=1a2-x2, ,xa0, xa3. 若U0,5, 求方程x2+x+1=0有实根的概率
2、.4设连续型随机变量的概率密度为求（1）系数；（1）的分布函数；（3）5已知随机变量X的概率密度为求随机变量（1），（2）（3）的概率分布6.设XN（0，1）求Y=X2的概率密度。7.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：（1）直到第次才成功；（2）第次成功之前恰失败次；（3）在次中取得次成功；（4）直到第次才取得次成功。解：（1）（2）（3）（4）8.投掷次均匀硬币，求出现正反面次数相等的概率。解 若为奇数, 显然, 出现正反面次数不可能相等, 故所求概率为0；若为偶数,“出现正反面次数相等”等价于“出现正反面次数各次”， 投掷次均匀硬币，可以看作伯努里概型，故这时
3、概率为：。故所求为：。9.某科统考成绩近似服从N(70,10),在参加统考的人数中，及格者100人（及格分数为60分），计算（1）不及格人数；（2）成绩前10名的人数在考生中所占的比例；（3）估计排名第10名考生的成绩。解：设考生的统考成绩为X,XN(70,10).设参加统考的人数为n,则Px60=1-(60-7010)=（1）=0.8413,100n=0.8413.(1) 不及格人数占统考人数的15.87%，不及格人数为0.1587n19人。(2) 前10名考生所占比例为10n8.4%(3) 设第10名考生成绩为x0分,PXx0=0.08413,PXx0=0.91587(x0-7010)=0
4、.91587, x0-7010=1.37, x0=83.784分。10.离散型随机变量x的分布函数F(x)=0, x-1a, -1x1-a, 1x2a+b, x2,且p(x=2)= 12.求a,b及x的分布律.11.巴拿赫火柴盒问题：波兰数学家巴拿赫（Banach）随身带着两盒火柴，分别放在左右两个衣袋里，每盒各有n根火柴。每次使用时，他随机地从其中一盒中取出一根。试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下k根火柴的概率。解：A：“取左衣袋盒中火柴”，B：“取右衣袋盒中火柴”。P(A)=P(B)=1/2. 若Banach首次发现他左衣袋盒中火柴用完，这时事件A已经是第n+1次发生了，而此时他右衣
5、袋盒中火柴恰好剩k根相当于他在此前已在右衣袋中取走了n-k根火柴，即B发生了n-k次，即一共做了n-k+n+1=2n-k+1次随机试验，其中A发生了n+1次，B发生了n-k次，在这2n-k+1次试验中，第2n-k+1次是A发生，前面的2n-k次试验中，A发生了n次，B发生了n-k次，这时概率为P(A)C2n-kn(PA)n(PB)n-k = 12C2n-kn(12)2n-k由对称性知，他右衣袋盒中火柴用完，而左衣袋盒中火柴恰好剩k根的概率也是 12C2n-kn(12)2n-k。所以，将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下k根火柴的概率为 C2n-kn(12)2n-k。四、应用题1.某家电维修站保养
6、本地区某品牌的600台电视机，已知每台电视机的故障率为0.005。（1）如果维修站有4名维修工，每台只需1人维修，求电视机能及时维修的概率。（2）维修站需配备多少维修工，才能使及时维修的概率不少于96%。解：设同一时刻发生故障的电视机台数为X, XB(600，0.005)，由于n很大，而P较小，可以利用泊松定理计算。=np=3,所以PX4=1-0.1847=0.8153（查表）PXn0.96,查表知n=6,即需配备6名维修工。2.人寿保险问题：某单位有2500个职工参加某保险公司的人寿保险。根据以前的统计资料，在1年内每个人死亡的概率为0.0001。每个参保人1年付给保险公司120元保险费，而
7、在死亡时其家属从保险公司领取20000元，求（不计利息）下列事件的概率。（A）保险公司亏本。（B）保险公司1年获利不少于十万元。解：设这2500人中有k个人死亡。则保险公司亏本当且仅当20000k2500*120，即k15.由二项概率公式知，1年中有k个人死亡的概率为C2500k (0.0001)k (0.9999)2500-k,k=0,1,2, ,2500所以，保险公司亏本的概率P(A)=k=162500C2500k (0.0001)k (0.9999)2500-k0.000001 (由此可见保险公司亏本几乎不可能)保险公司1年获利不少于十万元等价于2500*120-20000k 105,即
8、k10保险公司1年获利不少于十万元的概率为P(B)=k=010C2500k (0.0001)k (0.9999)2500-k0.999993662 (由此可见保险公司1年获利不少于十万元几乎是必然的)对保险公司来说，保险费收太少了，获利将减少，保险费收太多了，参保人数将减少，获利也将减少。因此在死亡率不变与参保对象已知的情况下，为了保证公司的利益，收多少保险费就是很重要的问题。（C）从而提出如下的问题：对2500个参保对象（每人死亡率为0.0001）每人每年至少收多少保险费才能使公司以不低于0.99的概率每年获利不少于10万元？（赔偿费不变）由上面知，设x为每人每年所交保险费，由2500x-2
9、0000k 105,得x8k+40,这是一个不定方程。又因k=02C2500k (0.0001)k (0.9999)2500-k=0.997840.99，故x56，即2500个人每人每年交给公司56元保险费，就能使公司以不低于0.99的概率每年获利不少于10万元。由于保险公司之间竞争激烈，为了吸引参保者，挤垮对手，保险费还可以再降低，比如20元，只要不亏本就行。因此保险公司将会考虑如下问题（D）在死亡率与赔偿费不变的情况下，每人每年交给保险公司20元保险费，保险公司至少需要吸引多少个参保者才能以不小于0.99的概率不亏本？解：设y为参保人数，k仍为参保者的死亡数，类似地有20y-20000k0,即y1000k,此仍是一个不定方程。当k=1,y1000,C10001 (0.0001)1 (0.9999)1000-1=0.09049又 (0.9999)1000=0.90483，从而k=01C1000k (0.0001)k (0.9999)1000-k=0.99532所以保险公司只需吸引1000个人参保就能以不小于0.99的概率不亏本。五、证明题1.设随机变量具有对称的分布密度函数，即，记它的分布函数为。证明对任意的，有（1）；（2）；（3）。解（1）由于, 故，因而， 即证（1）式；（2）由（1）式，即得（2）式； （3）由（2）式，即得（3）式。9
