《炎德英才大联考2019届高三月考试卷六理数试卷与答案全解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《炎德英才大联考2019届高三月考试卷六理数试卷与答案全解（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、书书书理科数学试题? 长郡版? 第?页? 共?页?题?答?要?不?内?线?封?密?号?学?名?姓?级?班?校?学炎德?英才大联考长郡中学? ? ? ?届高三月考试卷?六?数?学? 理科?得分?本试卷共?页?时量? ? ?分钟? 满分? ? ?分?一? 选择题? 本大题共? ?小题? 每小题?分? 共? ?分?在每小题给出的四个选项中? 只有一项是符合题目要求的? ? ?设集合? ? ? ? ? ? ? 集合? ? ? ? 则?等于? ? ? ?若?为虚数单位? 复数?满足? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则?的虚部为?槡? ?槡? ? ? ?槡? ? ?槡? ? ? ?设随机变量? ?
2、其正态分布密度曲线如图所示? 那么向正方形? ? ? ?中随机投掷? ? ? ?个点? 则落入阴影部分的点的个数的估计值是注? 若? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 九章算术? 中的? 竹九节? 问题? 现有一根?节的竹子? 自上而下各节的容积成等差数列? 上面?节的容积共?升? 下面?节的容积共?升? 现自上而下取第?节? 则这?节的容积之和为? ?升? ? ?升? ?升? ? ?升? ? ?已知某几何体的外接球的半径为槡? 其三视图如图所示? 图中均为正方形? 则该几何体的体积为? ? ? ? ? ?理科数学试题
3、? 长郡版? 第?页? 共?页? ? ?某城市有连接?个小区?和市中心?的整齐方格形道路网? 每个小方格均为正方形? 如图所示?某人从道路网中随机地选择一条最短路径? 由小区?前往小区? 则他经过市中心?的概率为? ? ?已知? ? ?的内角?的对边分别为? 若? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ?面积的最大值是槡? ? ? ? ? ? ?执行如图所示的程序框图? 输出?的值等于? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?已知非空集合?满足以下两个条件? ?的元素个数不是?中的元素?的元
4、素个数不是?中的元素?则有序集合对? 的个数为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设? ? ? ? ? 则? ? ? ?在三棱锥? ? ?中? ?平面? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ?是边? ?上的一动点? 且直线? ?与平面? ? ?所成角的最大值为?则三棱锥? ? ?的外接球的表面积为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?理科数学试题? 长郡版? 第?页? 共?页? ? ?已知? ? 是函数? 的导函数? 且对任意实数?都有? ? ? ?是自然对数的底数? ? 若不等式?的解集中恰有两个整数? 则实数?的取值范围是? ?选择题答题卡题?号? ? ? ? ?
5、 ?得分答?案二? 填空题? 本大题共?小题? 每小题?分? 共? ?分? ? ?已知平面向量?满足? ? 且? ? ? ? ? 则?等于? ? ?已知奇函数? ? ? ? ? ? 的导函数的部分图象如图所示?是最高点? 且? ?是边长为?的正三角形? 那么? ? ? ?已知实数?满足? ? ? ? ? ? ?若? ?只在点? 处取得最大值? 则实数?的取值范围是? ? ?已知抛物线? ? 点?在该抛物线上且位于?轴的两侧? ? ? ? ? ? 其中?为坐标原点? ? 则? ? ?面积的最小值是?三? 解答题? 本大题共? ?分?解答应写出文字说明? 证明过程或演算步骤?第? ? ? ? ?题
6、为必考题? 每个试题考生都必须作答?第? ? ?题为选考题? 考生根据要求作答? 一? 必考题? 共? ?分? ? ? 本小题满分? ?分?设数列? ?的前?项和为? 且? ? 在正项等比数列? ?中? 求? ?和? ?的通项公式? 设? 求数列? ?的前?项和?理科数学试题? 长郡版? 第?页? 共?页? ? ? 本小题满分? ?分?如图? 四 棱 锥? ? ? ?中? 平 面? ? ?平 面? ? ? ? 底面? ? ? ?为梯形? ? ? ? ?槡? ? ? ? 且? ? ?与? ? ?均为正三角形?为? ? ?的重心? 求证? ?平面? ? ? 求平面? ? ?与平面? ? ?所成锐二
7、面角的正切值?理科数学试题? 长郡版? 第?页? 共?页? ? ? ? 本小题满分? ?分?某公司计划购买?台机器? 该种机器使用三年后即被淘汰?机器有一易损零件? 在购进机器时? 可以额外购买这种零件作为备件? 每个? ? ?元?在机器使用期间? 如果备件不足再购买? 则每个? ? ?元?现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件? 为此搜集并整理了? ? ?台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数? 得下面柱状图?以这? ? ?台机器更换的易损零件数的频率代替?台机器更换的易损零件数发生的概率? 记?表示?台机器三年内共需更换的易损零件数?表示购买?台机器的同时购买的易损零件数? 求?的分
8、布列? 若要求? ? ? ? ? 确定?的最小值? 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据? 在? ? ?与? ? ?之中选其一? 应选用哪个?理科数学试题? 长郡版? 第?页? 共?页? ? ? 本小题满分? ?分?如图? 在平面直角坐标系中? 已知点? ? 过直线?左侧的动点?作?于点? ?的角平分线交?轴于点? 且?槡? ? 记动点?的轨迹为曲线? 求曲线?的方程? 过点?作直线?交曲线?于?两点? 点?在?上? 且? ?轴? 试问? 直线? ?是否恒过定点? 请说明理由?理科数学试题? 长郡版? 第?页? 共?页? ? ? 本小题满分? ?分?设函数? ? ? ? 若直线? 和函数?
9、 的图象相切? 求?的值? 当? ?时? 若存在正实数? 使对任意? 都有? ?恒成立? 求?的取值范围?理科数学试题? 长郡版? 第?页? 共?页? 二? 选考题? 共? ?分?请考生在? ? ?题中任选一题作答? 如果多做? 则按所做的第一题计分? ? ? 本小题满分? ?分? 选修? ? ? 坐标系与参数方程在直角坐标系? ? ?中? 以原点?为极点? 以?轴的正半轴为极轴建立极坐标系? 圆?的极坐标方程为?槡? ? ? ? ? ? 将圆?的极坐标方程化为直角坐标方程? 过点? 作斜率为?的直线? 直线?与圆?交于?两点? 试求? ? ?的值? ? ? 本小题满分? ?分? 选修? ?
10、? 不等式选讲已知定义在?上的函数? 且?恒成立? 求实数?的值? 若? ? ? ? 求证? ? ? ?书书书理科数学试题参考答案? 长郡版?炎德?英才大联考长郡中学? ? ? ?届高三月考试卷? 六?数学? 理科? 参考答案一? 选择题题?号? ? ? ?答?案? ? ? ? 解析?集合? ? ? ? ? ? ? ? 集合? ? ? ? ? ? ? ?故选? ? ? ? 解析?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡? ? ?槡? ? ? 故?的虚部为槡? ? ? 故选? ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ?
11、? ? ? ? ?阴影部分的面积为? ? ? ? ? ?向正方形? ? ? ?中随机投掷? ? ? ?个点? 则落入阴影部分的点的个数的估计值是? ? ? ? ? ? ? 解析? 设自上而下各节的容积分别为? ? 公差为?上面?节的容积共?升? 下面?节的容积共?升? ? ? ? ? ? ? ?解得? ? ? ?自上而下取第?节? 则这?节的容积之和为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 几何体为正四面体? ? ? ? 解析? 由题意知? 此人从小区?前往小区?的所有最短路径为? 共?条?记? 此人经过市中心?为事件? 则?包含的基本事件为? 共?个? 所以? 即他经过市中心?的
12、概率为? ? ? ? 解析? 由题意知? ? ? ? 由余弦定理? ? ? 故? ? ? ? ? ? ? 有? ? ?故? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? 即得?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 根据条件?的元素个数不是?中的元素?的元素个数不是?中
13、的元素?当集合?只有?个元素时? 集合?中有?个元素? ?且? ? 此时仅有一种结果? ? ?当集合?有?个元素时? 集合?中有?个元素? ?且? ? 此时集合?中必有一个元素为? 集合?中必有一个元素为? 故有如下可能结果? ? ? ? ? ? ? ? ?理科数学试题参考答案? 长郡版? ? ? ? ?共计?种可能?可以推测集合?中不可能有?个元素?当集合?中有?个元素时? 集合?中有?个元素? 此情况与?情况相同? 只需?互换即可?共计?种可能?当集合?中有?个元素时? 集合?中有?个元素? 此情况与?情况相同? 只需?互换即可?共?种可能?综上所述? 有序集合对? 的个数为? ? ?答案
14、选? ? ? ? 解析? 由? ?有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? 而? ?槡 ? 所以? 选? ? ? ? ? 解析? 三棱锥? ? ?中? ?平面? ? ? 设直线? ?与平面? ? ?所成角为? 三棱锥外接球球心为? 半径为? 如图所示?则? ? ? ? ? ? 且?的最大值是?槡 ? ? 解得? ?槡? ? ?即? ?的最小值为槡? ? ?的最小值是槡 ? 即点?到? ?的距离为槡 ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ?取? ? ?的外接圆圆心为? ? 作? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得?槡? ? ?
15、? ?槡? ? ? 取?为? ?的中点? ? ?槡? ? ?由勾股定理得?槡? ? ?槡? ?槡? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 构造函数? ? ? ? ?令? ? 所以? ? ?由? ?得? ? 所以? ? ? ? ? 研究? ? ? ? 的图象? 易知选?二? 填空题? ? ? 槡 ? 解析? 由? ?可得? ? ?则? ?槡? ?槡?槡槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 由奇函数? ? ? ?是边长为?的正三角形? 可得? ? ? ? ?是最高点且?槡 ? ? ? ? ? ?得?槡 ? ? 所以?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? 解析
16、? 由不等式组? ? ? ? ? ?作可行域如图?联立? ? ? ?解得?当? ?时? 目标函数化为? 由图可知?可行解? 使? ?取得最大值? 符合题意?当? ?时? 由? ? 得? 此直线斜率大于? 当在?轴上截距最小时?最大?要使可行解? 为目标函数? ?取得最大值的唯一的最优解? 则? ? ? 符合题意?理科数学试题参考答案? 长郡版?当? ?时? 由? ? 得? 此直线斜率为负值? 当在?轴上截距最大时?最大?要使可行解? 为使目标函数? ?取得最大值的唯一的最优解? 则? ? 即? ? ?综上? 实数?的取值范围是? ? ?槡? ? 解析? 设直线? ?的方程为? ? 点? ? ?
17、 直线? ?与?轴的交点为? ?将? ?代入? ? 可得? ? ? ? ? 根据韦达定理有? ? ? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ? ? 所以直线? ?恒过点? 且? ? ? ? ? ? ?当?槡? ? ?时? ? ?面积的最小值是槡? ?三? 解答题? ? ? 解析? ? 当? ?时? ?当? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ?分?所以? ? ? ? ? ?所以? ? ? ?于是? ? 解得? ?或? ? 舍?所以? ? ? ?分? 由以上结论可得? ? ? ? ? ? ?当? ?时? ?当? ?时? 令? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
18、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ? ? ?综上? ? ? ? ? ? ?分? ? ? 解析? ? 连接? ?并延长交? ?于? 连接? ?由梯形? ? ? ?中? ? ?且? ? ? ? 知? ? ? 又?为? ? ?的重心? ? ? ? 故? ? ?又? ?平面? ? ? ?平面? ? ? ?平面? ? ?分?平面? ? ?平面? ? ? ? ? ?与? ? ?均为正三角形? 连接? ?并延长交于? ?的中点? 连接? ? ? ? ? ? ?平面? ? ? ? 以?为原点建立
19、如图所示的空间直角坐标系?理科数学试题参考答案? 长郡版? ? ? ?槡? ? ?槡 ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ?槡? ? ? ? ?槡? ? ?设? ? ? ? ? ?槡? ?槡? ? ? 可得?槡? ? ?槡? ? ? ?槡? ? ?分?设平面? ? ?的一个法向量为? ?由? ? ? ? ?槡? ? ? ?槡? ? ? ?槡? ?槡? ?令? ? 得?槡 ? ?同理可得平面? ? ?的一个法向量?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡槡? ? ? ?槡 ? ? ?所以平面? ? ?与平面? ? ?所成锐二面角的正切值为? ? ?分? ? ? 解析? ?
20、 每台机器更换的易损零件数为? ? ? ?记事件?为第一台机器?年内换掉? ?个零件? ? ?记事件?为第二台机器?年内换掉? ?个零件? ? ?由题知? ? ? ? ? ? ? ?因为?台机器三年内共需更换的易损零件数的随机变量为? 则?的可能的取值为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
21、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? 要使? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
22、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则?的最小值为? ? ?分? 购买零件所需费用含两部分? 一部分为购买机器时额外购买零件的费用? 另一部分为备件不足时再购买的费用?当? ? ?时? 费用的期望为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当? ? ?时? 费用的期望为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以应选用? ? ? ? ?分?理科数学试题参考答案? 长郡版? ? ? 解析? ? 设? ? 由题
23、可知? ? ? ? ? 所以? ? ?槡 ?即? ?槡? ? ?槡 ? 化简整理得? ?即曲线?的方程为? ? ?分? 由已知可得直线?的斜率不为?可设直线?的方程为? ? ?联立方程组? ? ? ?消去?得? ? ? ? ? ? ? ?恒成立?记? ? ? 则? ? 则? ? ? ? ?直线? ?的斜率为? ? 直线? ?的方程为? ? ? ?即? ? ? ? ?又? ? ? ? ? ? ? ?直线? ?的方程为? ? ? ? ?直线? ?过定点? ? ?分? ? ? 解析? ? 设切点的坐标为? ? 由? ? 得? ? ? ?所以切线方程为? ? ? ? ? 即? ? ? ? ?由已知?
24、? ? ? ?和? ? ?为同一条直线? 所以? ? ? ? ? ?令? ? 则? ?当? 时? ? ? 单调递增? 当? 时? ? ? 单调递减?所以? ?当且仅当? ?时等号成立? 所以? ? ? ?分?当? ?时? 由? 结合函数的图象知?存在? ? 使得对于任意? ? 都有? ?则不等式? ? ?等价? ? 即? ? ? ? ? ?设? ? ? ? ? ? ? ? ?由? ? ?得? ? ? 由? ? ?得? ? ?若? ? ? ? ? ? 因为? ? ? 所以? 在?上单调递减?因为? ? 所以对任意? ? ? 与题意不符?若? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? 在? ?
25、?上单调递增?因为? ? 所以对任意? ? ? ? ? 符合题意?理科数学试题参考答案? 长郡版?此时取? ? ? ? ? ? 可得对任意? ? 都有? ? ?当? ? ?时? 由? 结合函数的图象知? ? ? ? ?所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ?对任意? ?都成立?所以? ? ?等价于? ? ? ? ?设? ? ? ? 则? ? ? ? ?由? ?得? ? ? ?得? ? ?所以? 在? ? ?上单调递减? 注意到? ?所以对任意? ? ? ? ? 不符合题意?综上所述?的取值范围为? ?分? ? ? 解析? ? 由?槡? ? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即? ? ? ?圆?的直角坐标方程为? ? ? ? ? ?分? 设?两点对应的参数分别为? 直线? ? ?槡 ?槡 ?为参数? 和圆?的方程联立得?槡? ? ? ? ? ? 所以?槡? ? ? ? ? ? ?所以? ? ?槡 ? ?分? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 要使? ? ? ? ? ?恒成立? 则? ? ? 解得? ? ? ? ?又? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ?当且仅当? 即?时取等号? 故? ? ? ? ?分?
