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1、2018 年高考全国 1 卷理科数学试题解析 1 设 则 A B C D 答案 C 解析 分析 首先根据复数的运算法则 将其化简得到 根据复数模的公式 得到 从而选出 正确结果 详解 因为 所以 故选 C 拓展 该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式 利用复数的除法及加法运算法则求得 结果 属于简单题目 2 已知集合 则 A B C D 答案 B 解析 分析 首先利用一元二次不等式的解法 求出的解集 从而求得集合A 之后根据集合 补集中元素的特征 求得结果 详解 解不等式得 所以 所以可以求得 故选 B 拓展 该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题 在解题的
2、过程中 需要明确 一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征 从而求得结果 3 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解该地区农村的经 济收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例 得到如下饼图 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 答案 A 解析 分析 首先设出新农村建设前的经济收入为M 根据题意 得到新农村建设后的经济收入为2M 之后从图中各项收入所占的比例 得到其对
3、应的收入是多少 从而可以比较其大小 并且得到其相应的关 系 从而得出正确的选项 详解 设新农村建设前的收入为M 而新农村建设后的收入为2M 则新农村建设前种植收入为0 6M 而新农村建设后的种植收入为0 74M 所以种植收入增加了 所以A 项 不正确 新农村建设前其他收入我0 04M 新农村建设后其他收入为0 1M 故增加了一倍以上 所以B 项正确 新农村建设前 养殖收入为0 3M 新农村建设后为0 6M 所以增加了一倍 所以C 项正确 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的 所以超过了经济收 入的一半 所以D 正确 故选 A 拓展 该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构
4、成比例的饼形图 要会从图中读出相应的信息即 可得结果 4 设为等差数列的前 项和 若 则 A B C D 答案 B 详解 设该等差数列的公差为 根据题中的条件可得 整理解得 所以 故选 B 拓展 该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用 在解题的过程中 需要利用题中的条件 结合等差数列的求和公式 得到公差的值 之后利用等差数列的通项公式得到与的关系 从而求得 结果 5 设函数 若为奇函数 则曲线在点处的切线方程为 A B C D 答案 D 解析 分析 利用奇函数偶此项系数为零求得 进而得到的解析式 再对求导得出切线的斜率 进而求得切线方程 详解 因为函数是奇函数 所以 解得 所以 所
5、以 所以曲线在点处的切线方程为 化简可得 故选 D 拓展 该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题 在求解的过程中 首先需要确 定函数解析式 此时利用到结论多项式函数中 奇函数不存在偶次项 偶函数不存在奇次项 从而求得相 应的参数值 之后利用求导公式求得 借助于导数的几何意义 结合直线方程的点斜式求得结果 6 在 中 为边上的中线 为的中点 则 A B C D 答案 A 解析 分析 首先将图画出来 接着应用三角形中线向量的特征 求得 之后应用向量 的加法运算法则 三角形法则 得到 之后将其合并 得到 下一步应用 相反向量 求得 从而求得结果 详解 根据向量的运算法则 可得 所以 故选 A
6、 拓展 该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题 涉及到的知识点有三角形的中线向量 向量加法 的三角形法则 共线向量的表示以及相反向量的问题 在解题的过程中 需要认真对待每一步运算 7 某圆柱的高为2 底面周长为16 其三视图如右图 圆柱表面上的点在正视图上的对应点为 圆柱表 面上的点在左视图上的对应点为 则在此圆柱侧面上 从到的路径中 最短路径的长度为 A B C D 2 答案 B 解析 分析 首先根据题中所给的三视图 得到点M 和点 N 在圆柱上所处的位置 点M 在上底面上 点 N 在下底面上 并且将圆柱的侧面展开图平铺 点M N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处 根据 平面上两点间直
7、线段最短 利用勾股定理 求得结果 详解 根据圆柱的三视图以及其本身的特征 可以确定点M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽 圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线 的端点处 所以所求的最短路径的长度为 故选 B 拓展 该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题 在解题的过程中 需要明确两 个点在几何体上所处的位置 再利用平面上两点间直线段最短 所以处理方法就是将面切开平铺 利用平 面图形的相关特征求得结果 8 设抛物线 C y 2 4x 的焦点为 F 过点 2 0 且斜率为的直线与 C 交于 M N 两点 则 A 5B 6C 7D 8 答案 D 解析 分析 首先根据题
8、中的条件 利用点斜式写出直线的方程 涉及到直线与抛物线相交 联立方程 组 消元化简 求得两点 再利用所给的抛物线的方程 写出其焦点坐标 之后应用向量坐标 公式 求得 最后应用向量数量积坐标公式求得结果 详解 根据题意 过点 2 0 且斜率为的直线方程为 与抛物线方程联立 消元整理得 解得 又 所以 从而可以求得 故选 D 拓展 该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题 在求解的过程中 首先 需要根据题意确定直线的方程 之后需要联立方程组 消元化简求解 从而确定出 之后借助 于抛物线的方程求得 最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标 之后应用向量数量积坐标公式求 得结果
9、也可以不求点M N 的坐标 应用韦达定理得到结果 9 已知函数 若 g x 存在 2 个零点 则a 的取值范围是 A 1 0 B 0 C 1 D 1 答案 C 解析 分析 首先根据g x 存在 2 个零点 得到方程有两个解 将其转化为有 两个解 即直线与曲线有两个交点 根据题中所给的函数解析式 画出函数的图像 将 去掉 再画出直线 并将其上下移动 从图中可以发现 当时 满足与曲线 有两个交点 从而求得结果 详解 画出函数的图像 在 y 轴右侧的去掉 再画出直线 之后上下移动 可以发现当直线过点A 时 直线与函数图像有两个交点 并且向下可以无限移动 都可以保证直线与函数的图像有两个交点 即方程有
10、两个解 也就是函数有两个零点 此时满足 即 故选 C 拓展 该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题 在求解的过程中 解题的思路是 将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题 将式子移项变形 转化为两条曲线交点的问题 画出函数 的图像以及相应的直线 在直线移动的过程中 利用数形结合思想 求得相应的结果 10 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个半圆构成 三个半圆的直径分别 为直角三角形ABC 的斜边 BC 直角边 AB AC ABC 的三边所围成的区域记为I 黑色部分记为II 其余部分记为III 在整个图形中随机取一点 此点取自I II III 的概率分别记
11、为p1 p2 p3 则 A p1 p2B p1 p3 C p2 p3D p1 p2 p3 答案 A 详解 设 则有 从而可以求得的面积为 黑色部分的面积为 其余部分的面积为 所以有 根据面积型几何概型的概率公式 可以得到 故选 A 拓展 该题考查的是面积型几何概型的有关问题 题中需要解决的是概率的大小 根据面积型几何概型的 概率公式 将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小 利用相关图形的面积公式求得结果 11 已知双曲线C O 为坐标原点 F 为 C 的右焦点 过 F 的直线与C 的两条渐近线的交点 分别为 M N 若OMN 为直角三角形 则 MN A B 3C D 4 答案 B 解析
12、 分析 首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率 并求得其右焦点的坐标 从而得到 根据直角三角形的条件 可以确定直线的倾斜角为或 根据相关图形的对称性 得知两种情况求 得的结果是相等的 从而设其倾斜角为 利用点斜式写出直线的方程 之后分别与两条渐近线方程联立 求得 利用两点间距离同时求得的值 详解 根据题意 可知其渐近线的斜率为 且右焦点为 从而得到 所以直线的倾斜角为或 根据双曲线的对称性 设其倾斜角为 可以得出直线的方程为 分别与两条渐近线和联立 求得 所以 故选 B 拓展 该题考查的是有关线段长度的问题 在解题的过程中 需要先确定哪两个点之间的距离 再分析点 是怎么来的 从而得到是直线的交
13、点 这样需要先求直线的方程 利用双曲线的方程 可以确定其渐近线 方程 利用直角三角形的条件得到直线的斜率 结合过右焦点的条件 利用点斜式方程写出直线的方程 之后联立求得对应点的坐标 之后应用两点间距离公式求得结果 12 已知正方体的棱长为1 每条棱所在直线与平面 所成的角相等 则 截此正方体所得截面面积的最 大值为 A B C D 答案 A 解析 分析 首先利用正方体的棱是3 组每组有互相平行的4 条棱 所以与12 条棱所成角相等 只需与 从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可 从而判断出面的位置 截正方体所得的截面为一个正六边形 且边长是面的对角线的一半 应用面积公式求得结果 详解 根据相互
14、平行的直线与平面所成的角是相等的 所以在正方体中 平面与线所成的角是相等的 所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的 同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等 要求截面面积最大 则截面的位置为夹在两个面与中间的 且过棱的中点的正六边形 且边长为 所以其面积为 故选 A 拓展 该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题 首要任务是需要先确定截面的位 置 之后需要从题的条件中找寻相关的字眼 从而得到其为过六条棱的中点的正六边形 利用六边形的面 积的求法 应用相关的公式求得结果 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 若 满足约束条件 则的
15、最大值为 答案 6 解析 分析 首先根据题中所给的约束条件 画出相应的可行域 再将目标函数化成斜截式 之后在图中画出直线 在上下移动的过程中 结合的几何意义 可以发现直线过 B 点时 取得最大值 联立方程组 求得点B 的坐标代入目标函数解析式 求得最大值 详解 根据题中所给的约束条件 画出其对应的可行域 如图所示 由可得 画出直线 将其上下移动 结合的几何意义 可知当直线过点B 时 z 取得最大值 由 解得 此时 故答案为6 拓展 该题考查的是有关线性规划的问题 在求解的过程中 首先需要正确画出约束条件对应的可行域 之后根据目标函数的形式 判断z 的几何意义 之后画出一条直线 上下平移 判断哪
16、个点是最优解 从 而联立方程组 求得最优解的坐标 代入求值 要明确目标函数的形式大体上有三种 斜率型 截距型 距离型 根据不同的形式 应用相应的方法求解 14 记为数列的前项和 若 则 答案 解析 分析 首先根据题中所给的 类比着写出 两式相减 整理得到 从而确定出数列为等比数列 再令 结合的关系 求得 之后应用等比数列的求和公式 求得的值 详解 根据 可得 两式相减得 即 当时 解得 所以数列是以 1 为首项 以2 为公布的等比数列 所以 故答案是 拓展 该题考查的是有关数列的求和问题 在求解的过程中 需要先利用题中的条件 类比着往后写一个 式子 之后两式相减 得到相邻两项之间的关系 从而确定出该数列是等比数列 之后令 求得数列 的首项 最后应用等比数列的求和公式求解即可 只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果 15 从 2 位女生 4 位男生中选3 人参加科技比赛 且至少有 1 位女生入选 则不同的选法共有 种 用数字填写答案 答案 16 解析 分析 首先想到所选的人中没有女生 有多少种选法 再者需要确定从6 人中任选3 人总共 有多少种选法 之后应用减法运算 求得结果
