《北师大高中数学必修一课件：4.1.1利用函数性质判定方程解的存在2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大高中数学必修一课件：4.1.1利用函数性质判定方程解的存在2（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 数学在人们社会生活中的作 用发生了革命性的变化 姜伯驹 利用函数性质 判定方程解的存在 教学内容分析 本节课安排在 普通高中课程标准数学教科书 数学 必修1 北师大版 第四章第一节第一课时的内容 我们知道函数应用 主要反映在两个方面 一是用函数的思想描述 分析和讨论其他的 数学内容 函数在数学内部的应用 二是用函数模型解决简单的 实际问题 这节课是在学生学习了函数的相关概念 性质 指数函 数 对数函数 幂函数 对这些函数的图像 性质都非常熟悉的基 础上 进一步研究函数与其他数学知识的有机联系 这里集中研究 的是从函数特征判定方程实数解的存在性 同时 它也是进一步学 习利用 二分法 求方程近似
2、解的依据和基础 是函数应用的体现 学情分析 由于学生在第二章已经学习了函数的有关概念和性质 又通 过对指数函数 对数函数 幂函数的定义 图像 性质的研究 对函数有了进一步的认识 有一定的知识基础 同时 学生也具 备了一些函数应用的意识 他们的智力发展到了形式运演阶段 但应用意识还是相对薄弱 创造力不强 所以 在授课时注重从 学生已有的认知水平出发 注重引导 启发和探究以符合学生的 心理发展特点 从而促进思维能力的进一步发展 三维目标 知识与技能 了解函数零点的概念 理解函数零点与相应方程间的关系 掌握利用函数性质判定零点存在的条件 过程与方法 通过对零点存在性的探索 发现及应用 掌握由特殊到一
3、般 的认知规律 培养学生用函数的观点思考 分析问题的习惯 情感 态度 价值观 在函数与方程的联系中体验数形结合思想 转化思想 连续 和近似思想 体会函数知识的核心作用和数学不同内容之间的 关系 教学重点 零点的概念及存在性的判定 重在数形结合的几何方 法 教学难点 零点个数的确定 一 创设情境 揭示课题 我们已经学过了一元一次方程 一元二次方程 二 元一次方程组的解法 还有一些简单的指数方程 对数 方程的解法 那么 你会解下面的方程吗 6x 2 0 3x2 x 1 0 x5 6x 1 0 一次方程 二次方程 三次方程 四次方程的解都 可以通过系数的四则运算 乘方与开方等运算来表示 但高于四次的
4、一般多项式方程以及实际生活和物理研究 中的一些方程 还有一般的超越方程 如 我们无 法求其精确解 人们一直在研究方程的近似解方法 为 了解决这个问题我们将学习今天的内容 二 互动交流 研讨新知 观察下面三个一元二次方程的根与二次函数的图像之间有什 么关系 方程的解与 函数图象和x 轴的交点之 间是什么关 系 方程的解是函数图象 与x轴交点的横坐标 问题一 方程 ax2 bx c 0 a 0 的根是二次函 数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴交点的 横坐标 二次函数的图像与 轴的交点 与对应的一元二次方程的根的关系是 否可以推广到一般情形 1 方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数 2
5、 方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横 坐标 结 论 1 方程的根与函数的零点 二 互动交流 研讨新知 对于函数y f x x D 把函数 y f x 的图像与横轴的交点的横坐标x叫 做函数y f x x D 的零点 说出上面三个二次函数 有没有零点 若有 有 几个 函数零点的概念 问题二 函数y f x 的零点是不是点 它与方程 f x 0的解有什么关系 函数零点的意义 函数y f x 的零点就是方程f x 0 的实数根 亦即函数y f x 的图像与x轴交点的横 坐标 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 问题三 如何判断一个函数是否有零点 1
6、 观察二次函数y x2 2x 3 的 图像 在区间 2 1 上有零点 f 2 f 1 f 2 f 1 0 在区间 上有零点 f 2 f 4 f 2 f 4 0 2 观察下面函数y f x 的图像 在区间 a b 上 有 无 零点 f a f b 0 在区间 b c 上 有 无 零点 f b f c 0 在区间 c d 上 有 无 零点 f c f d 0 1 5 4 3 35 有 有 有 讨论结果 函数y f x 在区间 a b 端点 处的函数值符号相反 即 f a f b 0 则函数y f x 在区间 a b 内有零点 你发现什么啦 2 零点存在性的探求 问题四 上面的结论是否具有一般性 分
7、析 显然f 1 f 1 但函数无零点 方程x2 x 无根 讨论结果 在上面的结论中 必须再补充 条件 函数y f x 的图像必须穿过x轴 在给 定区间 a b 上是一条连续曲线 请看函数y x2 x的图像 1 0 x y 1 o 请看函数y f x 的图像 显然f a f b 但函数无零点 方程f x 无根 问题五 函数y f x 在区间 a b 上满足上面两个条 件后 方程f x 0一定有解 那么解是否唯一 观察下面函数y f x 图像 函数有几个零点 方程f x 0 在区间 a b 上有几个解 尽管 但解的个数并不一样 我们只能 肯定有零点 但个数不一定 由以上几步 你可以得 到什么样的结
8、论 定理 函数y f x 在区间 a b 上的图像是一条连续曲线 并在区间 a b 端点处的函数值符号相反 即 f a f b 则 方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实根 下面我们探讨方程x5 6x 1 0根的问题 这是我们 前面无法求解的问题 现在能用上面新的知识解答吗 函数y f x 在哪几个区间内必有零点 方程f x 0 的根在什么范围内 为什么 x 2 1012 f x 45 8 1643 若令f x x5 6x 1 则 3 拓展深化 分组讨论下面的问题 画图举出反例 请大家交 流后回答 问题六 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象 是连续不断的一条曲线 并且有f a
9、f b 0 时 函数在区间 a b 内没有零点吗 问题七 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象 是一条连续不断的曲线 并且有f a f b 0 时 函数在区间 a b 内有零点 但是否只一个 零点 问题八 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象 是一条连续不断的曲线 并且函数在区间 a b 内有零点时一定有f a f b 0吗 三 巩固深化 发展思维 例 观察下面的四个函数图像 指出在区间 0 内 方程fi x 0 i 1 2 3 4 哪个有解 说明理由 解 因为f 1 5 0 f 3 8 0 函数f x x 2x 6 的图像是连续曲线 所以f x 在区间 0 内有零点 即 函数
10、f x 在区间 0 内有实数解 例2 已知函数f x x 2x 6 问 方程 f x 在区间 0 内有没有实数解 为什么 例3 判定方程 x 2 x 5 1有两个相异的 实数根 且一个大于 一个小于 分析 转化为判断函数f x x 2 x 5 在 和 内各有一个零点 解 考查函数 f x x 2 x 5 有 f 2 5 1 f 2 2 2 2 5 1 又因为f x 的图像是一条开口向上 的抛物线 所以抛物线与横轴在 内有一个交点 在 内也有一个交点 所以方程 x 2 x 5 1有两个相异的实数根 且 一个大于 一个小于 你能不能总结求函数零点有哪些方法 1 对于一些简单的函数可直接解方程 2
11、用函数零点的存在性定理判断根的存在 再利 用我们下节课将要学习的 二分法 去求近似解 四 知能训练 课本p116练习第 题 4 判定方程4x3 x 15 0在 1 2 内实数解的存在性 并 说明理由 解 考虑函数f x 4x3 x 15 有 f 1 100 函数f x 4x3 x 15图像是连续曲线 所以函数f x 在区间 1 2 内有零点 即方程4x3 x 15 0在区间 1 2 内有实数解 五 归纳整理 整体认识 请同学们回顾本节课所学知识内容有哪些 所涉及 到数学思想又有哪些 零点的概念及存在性的判断方法 体验从特殊到一般的认知规律 体会了化归转化 数形结合的数学思想方法 六 布置作业 1 p119习题 A组第 题 2 预习下一节 二分法 1 试判定方程x4 x2 2x 1 0在区间 0 2 内是 否有实数解 并说明理由 解 函数f x x4 x2 2x 1 f 0 10 函数f x x4 x2 2x 1图像是连续曲线 所以函数f x 在区间 0 2 内有零点 即方程x4 x2 2x 1 0在区间 0 2 内有实数解 2 若关于x的方程3x2 5x a 0的一根大于 2小 于0 另一根大于1小于3 求a的取值范围 f 2 0 f 0 0 f 1 0 解 设f x 3x2 5x a 谢谢谢谢 谢谢谢谢
