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1、2015 年高考试卷第 1 页 共 13 页 绝密 启封并使用完毕前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷1 至 3 页 第 卷4 至 6 页 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的准考证号 姓名填写在答题卡上 考生要认真核对答题卡上粘贴的 条形码的 准考证号 姓名 考试科目 与考生本人准考证号 姓名是否一致 2 第 卷每小题选出答案后 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干净后 在选涂其他答案标号 第 卷必须用0 5 毫米黑色签字笔书写作答 若在试题卷上作 答 答案无效 3 考试结束 监考
2、员将试题卷 答题卡一并收回 第 卷 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 要求的 1 已知集合A x x 3n 2 n N B 6 8 12 14 则集合 A B中元素的个数为 A 5 B 4 C 3 D 2 2 已知点A 0 1 B 3 2 向量AC u uu r 4 3 则向量BC uuu r A 7 4 B 7 4 C 1 4 D 1 4 3 已知复数z 满足 z 1 i i 1 则 z A 2 I B 2 I C 2 I D 2 i 4 如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长 则称这 3 个数为一组勾股数 从 1 2 3
3、4 5 中任取 3 个不同的数 则3 个数构成一组勾股数的概率为 A 10 3 B 1 5 C 1 10 D 1 20 5 已知椭圆E的中心在坐标原点 离心率为 1 2 E的右焦点与抛物线C y2 8x 的焦点重合 A B是 C的准线与E的两个焦点 则 AB A 3 B 6 C 9 D 12 2015 年高考试卷第 2 页 共 13 页 6 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有委米依垣内角 下周八尺 高五尺 问 积及为米几何 其意思为 在屋内墙角处堆放米 如图 米堆为一个圆锥 的四分之一 米堆底部的弧度为8 尺 米堆的高为5 尺 问米堆的体积和堆放的米各为多少 已
4、知 1 斛米的体积约为1 62 立方尺 圆周率约为3 估算出堆放斛的米约有 A 14 斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛 7 已知是公差为1 的等差数列 则 4 A B C 10 D 12 8 函数 f x 的部分图像如图所示 则f x 的单调递减区间为 A k k k A 2k 2k k 2015 年高考试卷第 3 页 共 13 页 A k k k A 2k 2k k 9 执行右面的程序框图 如果输入的t 0 01 则输出的n A 5 B 6 C 7 D 8 10 已知函数 且 f a 3 则 f 6 a A 7 4 B 5 4 C 3 4 D 1 4 11 圆柱被一个平面截去一部分后与
5、半球 半径为r 组成一个几何体 该几何体三视图中的正 视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为16 20 则 r 2015 年高考试卷第 4 页 共 13 页 A 1 B 2 C 4 D 8 12 设函数y f x 的图像关于直线y x 对称 且f 2 f 4 1 则 a A 1 B 1 C 2 D 4 第 卷 注意事项 第 卷共3页 须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答 若在试卷上作答 答案无效 本卷包括必考题和选考题两部分 第13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 13 在数列
6、an 中 a1 2 an 1 2an Sn为 an 的前 n 项和 若 Sn 126 则 n 14 已知函数f x ax 3 x 1 的图像在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则 a 15 x y 满足约束条件 则 z 3x y 的最大值为 16 已知 F是双曲线C x 2 8 2 y 1 的右焦点 P是 C的左支上一点 A 0 66 当 APF周长 最小是 该三角形的面积为 2015 年高考试卷第 5 页 共 13 页 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12 分 已知 a b c 分别为 ABC内角 A B C的对边 sin 2B 2sinAsinC 若
7、a b 求 cosB 设B 90 且 a 2 求 ABC的面积 18 本小题满分12 分 如图 四边形ABCD 为菱形 G为 AC与 BD的交点 BE 平面 ABCD 证明 平面AEC 平面 BED 若 ABC 120 AE EC 三棱锥 ACD的体积为 3 6 求该三棱锥的侧面积 19 本小题满分12 分 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了解年宣传费x 单位 千元 对年销售量 y 单位 t 和年利润z 单位 千元 的影响 对近 8 年的年宣传费和年销售量 i 1 2 8 数据作了初步处理 得到下面的散点图及一些统计量的值 2015 年高考试卷第 6 页 共 13 页 x r y
8、u r w u r 8 2 1 i i xx 8 2 1 i i ww 8 1 ii i xxyy 8 1 ii i wwyy 46 6 563 6 8 289 8 1 6 1469 108 8 表中 w1 x1 w u r 1 8 8 1i w 1 根据散点图判断 yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的 回归方程类型 给出判断即可 不必说明理由 根据 的判断结果及表中数据 建立y 关于 x 的回归方程 以知这种产品的年利率z 与 x y 的关系为z 0 2y x 根据 的结果回答下列问题 i 年宣传费x 49 时 年销售量及年利润的预报值是多少 ii 年宣传费 x 为
9、何值时 年利率的预报值最大 附 对于一组数据 u1 v1 u2 v2 un vn 其回归线v u 的斜率和截距的 最小二乘估计分别为 2015 年高考试卷第 7 页 共 13 页 20 本小题满分12 分 已知过点A 0 1 且斜率为k 的直线 l 与圆 C x 2 2 y 3 2 1 交于 M N两点 1 求 K的取值范围 2 若OM uuuu r ON uuu r 12 其中 0 为坐标原点 求 MN 21 本小题满分12 分 设函数x 讨论 f x的导函数 fx零点的个数 证明 当0a时 2 2lnfxaa a 请考生在第22 23 24 题中任选一题作答 如果多做 则安所做的第一题计分
10、 作答时请写 清题号 22 本小题满分10 分 选修4 1 几何证明选讲 如图 AB是 O的直径 AC是 O的切线 BC交 O于点 E 若 D为 AC的中点 证明 DE是 O的切线 若 CA 3CE 求 ACB的大小 2015 年高考试卷第 8 页 共 13 页 23 本小题满分10 分 选修4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 直线 1 C 2x 圆 2 C 22 121xy 以坐标原点为 极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 I 求 1 C 2 C的极坐标方程 II 若直线 3 C的极坐标方程为 4 R 设2C与3C的交点为M N 求2C MNV的 面积 24 本小题满分10 分
11、 选修4 5 不等式选讲 已知函数 1 2 0f xxxaa 当1a时 求不等式 1f x的解集 若 f x的图像与x轴围成的三角形面积大于6 求a的取值范围 2015 年高考试卷第 9 页 共 13 页 2015 年文科数学参考答案 一 选择题 1 D 2 A 3 C 4 C 5 B 6 B 7 B 8 D 9 C 10 A 11 B 12 C 二 填空题 13 6 14 1 15 4 16 12 6 三 解答题 17 解 由题设及正弦定理可得 2 2bac 又ab 可得2 2bc ac 由余弦定理可得 222 1 cos 24 acb B ac 6 分 由 知 2 2bac 因为90B o
12、 由勾股定理得222 acb 故 22 2acac 得2ca 所以ABCV的面积为1 12 分 18 解 因为四边形ABCD 为菱形 所以ACBD 因为BE平面ABCD 所以ACBE 故AC平面BED 又AC平面AEC 所以平面AEC平面BED 5 分 设ABx 在菱形ABCD中 由120ABC o 可得 3 22 x AGGCx GBGD 因为AE EC 所以在Rt AECV 中 可得 3 2 EGx 2015 年高考试卷第 10 页 共 13 页 由BE平面ABCD 知 EBGV 为直角三角形 可得 2 2 BEx 由已知得 三棱锥EACD的体积 31166 32243 EACD VAC
13、GD BExgg 故2x 9 分 从而可得6AEECED 所以EACV的面积为3 EADV的面积与ECDV的面积均为5 故三棱锥EACD的侧面积为32 5 12 分 19 解 由散点图可以判断 ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类 型 2 分 令wx 先建立y关于w的线性回归方程 由于 8 1 8 2 1 108 8 68 1 6 ii i i i wwyy d ww 563686 8100 6cyd w 所以y关于w的线性回归方程为 100 668yw 因此y关于x的线性回归方程 100 668yx 6 分 由 知 当49x时 年销售量y的预报值 100 66849576 6
14、y 年利润z的预报值 576 6 0 24966 32z 9 分 根据 的结果知 年利润z的预报值 0 2 100 668 13 620 12zxxxx 2015 年高考试卷第 11 页 共 13 页 所以 当 13 6 6 8 2 x 即46 24x时 z取得最大值 故年宣传费为46 24 千元时 年利润的预报值最大 12 分 20 解 由题设 可知直线l的方程为1ykx 因为l与C交于两点 所以 2 231 1 1 k k 解得 4747 33 k 所以k的取值范围为 4747 33 5 分 设 1122 M xyN xy 将1ykx代入方程 22 2 3 1xy 整理得 22 1 4 1
15、 70kxk x 所以 121222 4 1 7 11 k xxx x kk 7 分 1212 OM ONx xy y u uuu r uu u r g 2 1212 1 1kx xk xx 2 4 1 8 1 kk k 由题设可得 2 4 1 812 1 kk k 解得 1k 所以l的方程为1yx 故圆心C在l上 所以 2MN 12 分 21 解 f x的定义域为 0 2 2 0 x a fxex x 当0a时 0fx fx没有零点 当0a时 因为 2x e单调递增 a x 单调递增 所以 fx在 0 单调递增 又 0fa 2015 年高考试卷第 12 页 共 13 页 当b满足0 4 a
16、b且 1 4 b时 0fb 故当0a时 fx存在唯一零点 6 分 由 可设 fx在 0 的唯一零点为 0 x 当 0 0 xx时 0fx 当 0 xx 时 0fx 故 f x在 0 0 x单调递减 在 0 x单调递增 所以当 0 xx时 f x取得最小值 最小值为 0 f x 由于 0 2 0 20 xa e x 所以 00 0 22 2ln2ln 2 a f xaxaaa xaa 故当0a时 2 2lnf xaa a 12 分 22 解 连结AE 由已知得 AEBC ACAB 在Rt AECV中 由已知得 DEDC 故DECDCE 连结OE 则 OBEOEB 又90ACBABC o 所以90DECOEB o 故90OED o DE是Oe的切线 5 分 设1 CEAEx 由已知得 2 2 3 12ABBEx 由射影定理可得 2 AECE BEg 所以 22 12xx 即 42 120 xx 可得3x 所以60ACB o 10 分 23 解 因为cos sinxy 所以 1 C的极坐标方程为cos2 2 C的极坐标方 程为 2 2cos4sin40 5 分 将 4 代 入 2 2cos4
