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1、数学寒假作业3一选择题： 1.若条件,条件则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2. （ ） A B C D3在各项都为正数的等比数列中,首项是,前三项和为21,则( )33 72 84 1894已知函数上为减函数，则实数的取值范围是（ ）AB CD5某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任班长，其中至少有1名女生当选的概率是( )A B C D6.设是方程的解，则属于区间 ( )A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D.（3，4）7.若，则 =（ ）A.1 B.0 C.-1 D.28一水池有2个进水口，1 个出水口，进出
2、水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水； 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是 （ ）A B C D 二填空题：本大题共9个小题,分必做题和选做题，每小题5分，共30分 必做题：考生必须作答第9至第13题9已知i， j为互相垂直的单位向量，a = i 2j， b = i + j，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10在直角坐标平面内，由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是 .11在如下程序框图中，输入，则输出的是_否是开始输入f 0 (x )结束=2007输出 f
3、 i (x)12F1、F2是椭圆的左、右两焦点，P为椭圆的一个顶点，若PF1F2是等边三角形，则a2= 13.不等式：的解集为 选做题：从第14、15两道题中选做一题，两题都答的只计算第一题的得分。14极坐标方程分别为的两个圆的圆心距为 .AODBC15如图，是半圆的直径，在半圆上，于，且，设，则 .三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16(本题满分12分)已知函数f (x) = sin( x +) +sin (x -) + cosx + a的最大值为1(1) 求常数a的值； (2) 求使f (x)0成立的x的取值集合； (3) 若 x0，p，求函数的值域17.
4、 (本题满分12分)如图所示, 有两个独立的转盘、.两个图中三个扇形区域的圆心角分别为、.用这两个转盘进行玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始），记转盘指针对的数为，转盘指针对的数为.设的值为,每转动一次则得到奖励分分.132A321B（B）（）求1的概率；() 某人玩12次，求他平均可以得到多少奖励分？18（本题满分14分）如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为 （）求此正三棱柱的侧棱长；（） 求二面角的大小；（）求点到平面的距离19已知数列满足：且（）求，的值及数列的通项公式；（）设，求
5、数列的前项和；20（本题满分14分）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.（1）求双曲线C的方程；（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（2，0）及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围.21（本题满分分）已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、（）设，试求函数的表达式；（）是否存在，使得、与三点共线若存在，求出的
6、值；若不存在，请说明理由（）在（）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，使得不等式成立，求的最大值数学 答案及评分标准一、选择题：本大题每小题5分，满分40分12345678ACCDCCBA二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分9 ； 10； 11sinx ； 12_12 ; 13. x|x6;14. ; 15.三、解答题16. （本小题满分12分）解：(1) f (x)=2sin( x +) + a 3分 由2+a=1得a= -1 4分(2)由f (x)0得sin( x +)， 5分则 7分x|2kpx2kp+， kZ 8分(3) x0，p9分则s
7、in( x +)111分故值域y-2, 1 12分17（本小题满分12分）解：（）由几何概率模型可知：P（=1）=、P（=2）=、P（=3）=；P（=1）=、P（=2）=、P（=3）=.2分则P（1）= P（=2）+ P（=3）=+=所以P（1）= P（1）=.6分（）由条件可知的取值为：2、3、4、5、6. 则的分布列为：23456P.10分他平均一次得到的钱即为的期望值：所以给他玩12次，平均可以得到分.12分18. （本小题满分14分）解：（）设正三棱柱的侧棱长为取中点，连是正三角形，又底面侧面，且交线为侧面连，则直线与侧面所成的角为 2分在中，解得 3分此正三棱柱的侧棱长为 4分 注：
8、也可用向量法求侧棱长（）解法1：过作于，连，侧面为二面角的平面角 6分在中，又， 又在中， 8分故二面角的大小为 9分解法2：（向量法，见后）（）解法1：由（）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面 10分在中， 12分为中点，点到平面的距离为 14分解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为过点作于，则的长为点到平面的距离解法3：（思路）等体积变换:由可求解法4：（向量法，见后）题（）、（）的向量解法：（）解法2：如图，建立空间直角坐标系则设为平面的法向量由 得取 6分又平面的一个法向量 7分 8分结合图形可知，二面角的大小为 9分（）解法4：由（）解法2，10分点到平
9、面的距离14分19.（本小题满分14分）.解：（）经计算， 3分当为奇数时，即数列的奇数项成等差数列，； 5分当为偶数，即数列的偶数项成等比数列， 7分 因此，数列的通项公式为 8分（）， 9分 （1） （2）10分（1）、（2）两式相减，得 12分 14分 20（本小题满分14分）解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kxy=0该直线与圆 相切，双曲线C的两条渐近线方程为 2分故设双曲线C的方程为，又双曲线C的一个焦点为，双曲线C的方程为 4分（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1| 根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 6分由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（）则 代入并整理得点N的轨迹方程为 8分（3）由 令直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 上有两个不等实根.因此 10分又AB中点为直线L的方程为 12分令x=0，得 故b的取值范围是
