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1、河北满城中学2020学年高二下学期期中考试数学（理）试卷满城中学高二第二学期期中考试数学试题（理科）（考试时间：120分钟 分值：150分）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.设x,yR+,且满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值为()A.40B.10C.4D.22. 实数，满足，则的值是（）123.若b C.a+cb+d D.a-cb-d4已知a0,b0,且a+b=2,则()A.ab B.ab C.a2+b22 D.a2+b235.已知，则的最大值和最小值分别是（）和 3和1 和和36.用反证法证明命题：若整系数一
2、元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）假设都是偶数 假设都不是偶数假设至多有一个是偶数 假设至多有两个是偶数7. 用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（）8. 函数的单调递减区间是（ ）A、（，+）B、（，） C、（0，） D、（e，+）9.已知二次函数的导数为，对于任意实数，有，则的最小值为( ) 10、给出以下命题：若，则f(x)0； ;f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 011、设函数f(x)kx33(k1)x21在区间（0，4）上是减函数，则的取值范围 ( )
3、 A、B、C、D、12、对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）0，则必有A、f（0）f（2）(2f（1） Bf（0）f（2）(2f（1）Cf（0）f（2）2f（1） Df（0）f（2）(2f（1），则= _. 15.x0,y0且满足x+y=6,则使不等式+m恒成立的实数m的取值范围为16. 已知函数处取得极值，并且它的图象与直线在点（1，0）处相切，则函数的表达式为 三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知是复数，与均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围18. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园
4、ABCD,公园由长方形休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比=x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式.(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计? 19.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO平面A1B1C1.已知BCA90，AA1ACBC2.(1)证明：OE平面AB1C1；(2) 求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值在时有极值0。 （1）求常数 的值； （2）方程在区间-4,0上
5、有三个不同的实根时,求实数的范围。21.在几何体ABCA1B1C1中，点A1、B1、C1在平面ABC内的正投影分别为A、B、C，且ABBC，AA1BB14，ABBCCC12，E为AB1的中点(1) 求二面角B1AC1C的大小；(设点M为ABC所在平面内的动点，EM平面AB1C1，求线段BM的长（）令，讨论在内的单调性并求极值；（）求证：当时，恒有理科答案DACCA BBCCB DC13. 三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 14. x-1 15. 16. 17. 解：设，为实数，为实数，则在第一象限，解得18. (1)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,由a2x=4000,
6、得a=.则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)+160=80+4160(x1).(2)S802+4160=1600+4160=5760.当且仅当2=,即x=2.5时取等号,此时a=40, ax=100.所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.19.解析 (1)证明：点O、E分别是A1C1、AA1的中点，OEAC1，又EO平面AB1C1，AC1平面AB1C1，OE平面AB1C1.(2)O是A1C1的中点，AOA1C1，ACAA12，又A1C1AC2，AA1C1为正三角形，AO，又BCA90，A1B1AB2，
7、如图建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0,0，)，A1(0，1，0)，E(0，)，C1(0,1,0)，B1(2,1,0)，C(0,2，) 设A1C1与平面AA1B1所成角为，(0,2,0)，(2,2,0)，(0,1，)，设平面AA1B1的一个法向量是n(x，y，z)，则即不妨令x1，可得n(1，1，)，sincos，n，A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为.，由题知： 2分 联立、有：（舍去）或 4分当时， 故方程有根或 6分x00极大值极小值 由表可见，当时，有极小值0，故符合题意 8分 (2)由上表可知：的减函数区间为 的增函数区间为, 10分因为，由数形结合可得。21.解析因为点B1
8、在平面ABC内的正投影为B，所以B1BBA，B1BBC，又ABBC，如图建立空间直角坐标系Bxyz，B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(0,0,4)，C1(0,2,2)，E(1,0,2)， (设平面AB1C1的法向量n2(x，y，z)，(2,0，4)，(0,2，2)，由，即，取y1，得n2(2,1, 1)，同理，平面ACC1的法向量n3(1,1,0)，所以cosn2，n3，由图知，二面角B1AC1C的平面角是钝角，所以二面角B1AC1C的平面角是.(设点M的坐标为(a，b,0)，则(a1，b，2)，由EM平面AB1C1，得，即解得，所以M(3，2,0)，|.）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有
