《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质讲义（含解析）新人教A版选修1_1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质讲义（含解析）新人教A版选修1_1（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、22.2双曲线的简单几何性质预习课本P4953，思考并完成以下问题 1双曲线有哪些几何性质？2双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？3双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质图形焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c性质范围xa或 xa，yya或 ya，x对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半实轴长：，半虚轴长：离心率e(1，)渐近线yxyx2等轴双曲线实轴和虚轴等长的
2、双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是yx，离心率为e.点睛对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)双曲线1的焦点在y轴上()(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔()(3)以y2x为渐近线的双曲线有2条()答案：(1)(2)(3)2双曲线y21的顶点坐标是()A(4,0)，(0,1)B(4,0)，(4,0)C(0,1)，(0，1) D(4,0)，(0，1)答案：B3中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程
3、是()A.1B.1或1C.1D.1或1答案：B4(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.答案：5双曲线的几何性质典例求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解双曲线的方程化为标准形式是1，a29，b24，a3，b2，c.又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yx.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双
4、曲线的几何性质注意求性质时一定要注意焦点的位置 活学活用1已知双曲线1与1，下列说法正确的是()A两个双曲线有公共顶点B两个双曲线有公共焦点C两个双曲线有公共渐近线D两个双曲线的离心率相等解析：选C双曲线1的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线1的焦点和顶点都在y轴上，因此可排除选项A、B；双曲线1的离心率e1，而双曲线1的离心率e2，因此可排除选项D；易得C正确2(2017北京高考)若双曲线x21的离心率为，则实数m_.解析：由双曲线的标准方程可知a21，b2m，所以e，解得m2.答案：2由双曲线的几何性质求标准方程典例(1)(2017天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为.若
5、经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1 D.1(2)过点(2，2)且与y21有相同渐近线的双曲线的标准方程为_解析(1)由e知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为yx，故由P(0,4)，知左焦点F的坐标为(4,0)，所以c4，则a2b28.故双曲线的方程为1.(2)法一：当焦点在x轴上时，由于.故可设方程为1，代入点(2，2)得b22(舍去)；当焦点在y轴上时，可知，故可设方程为1，代入点(2，2)得a22.所以所求双曲线方程为1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线y21有相同的渐近线，故可设双曲线方程为y2(0)，代入点(2，2)得2，
6、所以所求双曲线的方程为y22，即1.答案(1)B(2)1求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得再结合c2a2b2及e列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程(2)如果已知双曲线的渐近线方程为yx，那么此双曲线方程可设为(0) 活学活用求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(5,3)；(3)顶点间距离为6，渐近线方程为yx.解：(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b
7、2，b6，c10，a8，双曲线的标准方程为1或1.(2)e，ca，b2c2a2a2.又焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为1(a0)把点(5,3)代入方程，解得a216.双曲线的标准方程为1.(3)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)，当0时，a24，2a26.当0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_解析如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2
8、ac)，化简可得离心率e2.答案2求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解，若已知a，b，可利用e 求解(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2c2a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e，转化为关于e的n次方程求解 活学活用1如果双曲线1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是_解析：如图，因为AOAF，F(c,0)，所以xA，因为A在右支上且不在顶点处，所以a，所以e2.答案：(2，)2设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1
9、|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_解析：不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，得|PF1|4a，|PF2|2a，|F1F2|2c，则在PF1F2中，PF1F230，由余弦定理得(2a)2(4a)2(2c)22(4a)(2c)cos 30，整理得(e)20，所以e.答案：层级一学业水平达标1双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4 D4解析：选C双曲线方程可变形为1，所以a24，a2，从而2a4，故选C.2已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D由题意知，所求双曲
10、线是等轴双曲线，设其方程为x2y2(0)，将点(5,3)代入方程，可得523216，所以双曲线方程为x2y216，即1.3(2017全国卷)若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，) B(，2)C(1，) D(1,2)解析：选C由题意得双曲线的离心率e.即e21.a1，01，112，1e.4若一双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为()Ay23x236 Bx23y236C3y2x236 D3x2y236解析：选A椭圆4x2y264可变形为1，a264，c2641648，焦点为(0,4)，(0，4)，离心率e，则双曲线的焦点在y轴上，c4，
11、e，从而a6，b212，故所求双曲线的方程为y23x236.5已知双曲线y21(a0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选D由双曲线方程为y21，知b21，c2a21，2b2,2c2.实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，2a2c4b4，2a24，解得a.双曲线的渐近线方程为yx.6已知点(2,3)在双曲线C：1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_解析：由题意知1，c2a2b24，解得a1，所以e2.答案：27已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e，则双曲线的标准方程为_解析：由焦点坐标，知c2，由
12、e，可得a4，所以b2，则双曲线的标准方程为1.答案：18已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_解析：法一：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.法二：渐近线yx过点(4,2)，而0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21.答案：y219求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M(3，2)；(2)过点(2,0)，与双曲线1离心率相等；(3)与椭圆1有公共焦点，离心率为.解：(1)设所求双曲线方程为(0)由点M(3，2)在双曲线上得，得2.故所求双曲线的标准方程为1.(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得，故所求双
