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1、4.1 圆的标准方程圆定义圆的定义有2 其一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360，留下的轨迹叫圆。概括把一个圆按一条直线对折过去，并且完全重合，展开再换个方向对折，折出后，这些折痕相交的一个点，叫做圆心，用字母O表示。连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d表示。圆心决定圆的位置，半径和直径定圆的大小。在同一个圆或等圆中，半径都相等，直径也都相等，直径是半径的2倍，半径是直径的1/2。用字母表示是：d=2r或r=d/2 圆的相关量圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率，它是一
2、个无限不循环的小数通常用表示，=3.1415926535.，在实际应用中我们只取它的近似值，即3.14（在奥数中一般只取3、3.1416或3.14159）圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆中最长的弦为直径。圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面
3、展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。【圆和圆的相关量字母表示方法】圆半径r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）弧直径d 扇形弧长圆锥母线l 周长C 面积S 【圆和其他图形的位置关系】圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在O外，POr；P在O上，POr；P在O内，POr。直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OPAB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与O相离，POr；AB与O相切，POr；AB与O
4、相交，POr。两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为P：外离PR+r；外切P=R+r；相交R-rPR+r；内切P=R-r；内含PR-r。【圆的面积与周长计算公式】在以下几个算式中，“C”代表周长，“S”代表面积。S圆=R方C圆=2R或D 【圆的平面几何性质和定理】一有关圆的基本性质与定理圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。圆与直线相切圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意
5、一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。有关外接圆和内切圆的性质和定理一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各
6、边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。R=2SL（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。（9）圆外角的度数等于这
7、个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。有关切线的性质和定理圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。有关圆的计算公式1.圆的周长C=2r=d 2.圆的面积S=r2; 3.扇形弧长l=nr/180 4.扇形面积S=(nr2)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积S=
8、rl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) 【圆的解析几何性质和定理】圆的解析几何方程圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2。圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F0）。其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a2+b2-r2。该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2)，半径r=0.5D2+E2-4F。圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。经过圆 x2+y2=r2上一点M（
9、a0，b0）的切线方程为 a0*x+b0*y=r2 圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b2-4ac0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。如果b2-4ac0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-CA，它平行
10、于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)2+(y-b)2=r2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1x2，那么：当x=-CAx2时，直线与圆相离；当x1x=-CA (x+D/2)2+(y+E/2)2=D2/4+E2/4-F = 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）圆知识点总结平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。圆心：圆中心固定的一点叫做圆心。用字母o表示。直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫
11、做圆的直径。直径一般用字母d表示。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数，用字母表示。计算时，通常取它的近似值，3.14。直径所对的圆周角是直角。90的圆周角所对的弦是直径。圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。r2，用字母S表示。一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。资
