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1、基于风险基金的CAPM模型 本文是中国人民大学“十五”“211工程”中国经济学的建设和发展子项目“行为和实验经济学学科规划”子报告研究成果，同时是国家教育部博士点基金资助项目（01JB630009）研究成果。陈彦斌中国人民大学经济学院 100872徐绪松武汉大学商学院 430072内容提要：本文提出并证明了基于风险基金的CAPM模型。基于风险基金的CAPM模型描述了资产的收益与风险之间的线性关系，其中资产的风险定义为资产收益率与风险基金收益率的协方差除以风险基金收益率的方差。作为应用例子，本文使用基于风险基金的CAPM模型证明了著名的CCAPM模型。关键词：两基金分离 风险基金 资本资产定价模
2、型 基于消费的资产定价模型一、引言上个世纪60年代，Sharpe，Linter和Mossin建立了资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing Model，简称CAPM模型)，将每一种风险资产的期望超额收益率表示为，该风险资产的Beta系数与市场组合的期望超额收益率的乘积。CAPM模型描述了资产的收益与风险之间的线性关系，是测量风险和估价资产的基准和衡量投资绩效的标准。但是，Roll (1977) 指出，因为不存在真实的市场组合，所以资本资产定价模型永远不能被证实或证伪。因此资本资产定价模型不应被视为用于资产定价的完美模型。由于可以公开得到总消费数据，所以Breeden (1
3、979) 提出了基于消费的资产定价模型 (Consumption -based Capital Asset Pricing Model，简称CCAPM模型)。CCAPM模型的提出是金融学的一次重大飞跃，将金融学和经济学有机地结合起来，具有巨大的理论价值。但是，CCAPM模型不能解释著名的股票溢价之谜，无风险利率之谜和消费平滑之谜等实证难题。为了解释这些实证难题，最近十几年来资产定价理论获得了巨大的新发展，在CCAPM模型的基础之上提出了许多新的模型，比如引入了财富偏好、习惯形成、递归效用等更加接近现实的效用函数，和引入了生产、投资和通货膨胀等更为一般的经济模型等，其中行为金融尤为突出。但是，C
4、CAPM模型等现代资产定价理论与CAPM模型有一定的脱节，缺乏理论上的平稳过渡。现代资产定价理论不是在CAPM模型基础之上发展起来的，与CAPM模型是两套不同的研究体系。CAPM模型和CCAPM模型以及在此基础之上发展起来的现代资产定价理论的研究对象不同。CAPM模型的研究对象是狭义的资产市场；而CCAPM模型等现代资产定价理论，引入了消费等宏观经济变量，将宏观经济和资产市场联系起来，研究对象是广义的资产市场。并且，虽然现代资产定价理论是建立在CCAPM模型基础之上的，但是一般都偏离了CCAPM模型的原始假定。因此，所得到的结论值得商榷。比如说，Bakshi和Chen (1996) 将财富偏好
5、引入了CCAPM模型，Constantinides (1990) 将习惯形成引入了CCAPM模型，但他们所使用的经济都是代表性投资者经济，即假定经济中只有一个投资者，或者经济中有许多偏好相同的投资者。而Breeden (1979) 的CCAPM模型以及CAPM模型所使用的经济中的投资者的偏好是各不相同的。本文的目标是建立一个与传统的CAPM模型类似的资产定价模型，具有CAPM模型的特征，但克服CAPM模型的缺陷，并且可以将之推导出CCAPM模型以及新型资产定价模型。众所周知，CAPM模型成立的充分条件是两基金分离定理 有两种典型的方法使用两基金分离定理求取CAPM模型，一种方法是在Markow
6、itz均值方差投资组合模型中，假定风险资产的收益率服从正态分布，从而得到两基金分离，进而使用两基金分离定理得到CAPM模型，具体过程可以参考Huang和Litzenberger (1988) 的 “Foundations for Financial Economics” 第4章。另一种方法是，在连续时间动态模型中，Merton (1973) 证明了如果风险资产的价格服从几何布朗运动，那么两基金分离定理成立，从而使用两基金分离定理得到CAPM模型。而在连续时间模型中，只要资产市场中的风险资产的价格均服从几何布朗运动，并且资产市场中存在无风险资产，那么两基金分离定理成立。因为两基金指的是风险基金和
7、无风险基金，因此，我们可以在两基金分离定理基础之上，提出基于风险基金的CAPM模型。本文的工作是提出了基于风险基金的CAPM模型，并给予了证明。该模型与传统的CAPM模型不同的是，它抛弃了市场组合的概念，转而使用风险基金。从而使资产定价的基准不是市场组合，而是风险基金。本文还将使用作者提出的基于风险基金的CAPM模型导出CCAPM模型。这就在CAPM模型和CCAPM模型等现代资产定价理论之间建立了有机的联系，从而解决了现代资产定价理论与CAPM模型的脱节现象。本文的结构如下。第2节给出了全文的假定。第3节证明了两基金分离定理。第4节给出了风险基金的价格所服从的随机微分方程。第5节证明了本文的主
8、要定理: 基于风险基金的CAPM模型。第6节使用基于风险基金的CAPM模型证明CCAPM模型。第7节比较了CAPM模型，基于风险基金的CAPM模型，以及CCAPM模型之间的异同之处。第8节是结论和展望。二、假定本文考虑一个连续时间的资产市场经济，经济中只有一种商品，它要么用来消费，要么用来投资于风险资产，投资的回报也是该商品。该经济类似于Merton (1969，1971) 所研究的经济，进一步定义如下。1 偏好经济中存在个偏好不同的无限存活的投资者。投资者在时有财富，希望使用该财富最大化期望终身总效用， , (1)此处记号表示条件期望算子，表示投资者的时消费率，表示投资者的时即时效用函数。假
9、定效用函数是二次连续可微的。并假定效用函数满足如下约束: (效用函数关于消费是严格增加函数); (效用函数关于消费是严格凹函数)。2 投资机会假定存在一个连续交易的资产市场，有种风险资产和一种无风险资产。无风险资产的利率记为。假定每份风险资产的时价格为，服从几何布朗运动，即，其中常数和分别是风险资产的收益率的均值和波动率; 是标准布朗运动。将所有风险资产的价格所服从的几何布朗运动用矩阵表示为，其中表示n种风险资产的价格向量，记号表示矩阵的转置，表示n种风险资产的期望收益率向量，表示风险资产的布朗运动微分向量，矩阵是对角矩阵，对角线上的元对应为每种风险资产的价格，矩阵是对角矩阵，对角线上的元对应
10、为每种风险资产的波动率。定义矩阵为种风险资产的收益率的协方差矩阵，此处记号表示风险资产的收益率和风险资产的收益率的协方差，。假定协方差阵是非奇异的，并使用记号表示协方差阵的逆矩阵。将风险资产的价格所服从的几何布朗运动代入协方差，得到协方差与波动率之间的关系为。那么写成矩阵形式，有如下关系.3 预算方程下面给出投资者所面临的预算动态方程，即财富所服从的随机过程。假定投资者没有禀赋和劳动收入，所有收入都来源于所持有的风险资产的资本增值。因为瞬间内财富的增加部分等于该段时间内所持有资产的增值，再减去瞬间消费，所以投资者的财富动态方程为如下随机微分方程 , (2)此处表示投资者投资在风险资产之上的投资
11、组合权重，并且投资组合是无约束的，这是因为是投资在无风险资产上的投资组合权重。其中是维全1列向量。三、两基金分离本节证明，如果风险资产的价格服从几何布朗运动，那么资产市场就会有两基金分离现象。从而，复杂的资产市场可以简化为两种资产: 一种无风险资产和一种风险资产。投资者的控制变量是其消费和投资组合，而投资者在时的状态变量 在投资者的消费投资组合规划问题中，投资者的效用函数不含有风险资产的价格。当风险资产的价格服从几何布朗运动时，投资者的预算约束动态方程也不包含有风险资产的价格变量。由于规划问题中的目标函数和约束条件都不包含风险资产的价格，所以投资者的消费投资组合规划问题就与风险资产的价格无关。
12、因此，投资者的状态变量是其财富和时间。，为其财富和时间。定义记号为投资者的值函数 (value function)，表示该投资者在时，给定财富，通过最优分配消费和投资组合，所能达到的终生最大期望效用，即.下面采用随机动态规划方法求解投资者的消费投资组合问题。由Taylor展开公式和积分中值定理，将投资者的消费投资组合问题表达为: , (3)此处记号表示值函数对财富的偏微分，即，表示值函数对时间的偏微分，即。上述推导中，第一个等号使用了定积分的定义，第二个等号使用了积分中值定理和值函数的定义，第三个等号使用了Taylor展开公式。在方程 (3) 左右两边消去值函数，并利用，和的时可测性，得到 .
13、 (4)将投资者的财富动态方程 (2) 代入 (4)，利用布朗运动的定义，并消去时间微分符号，得到如下Hamiltion- Jacobi-Bellman方程 (简称HJB方程)，HJB方程关于投资组合的一阶条件为0,此处0是维全0列向量。在上面方程的左右两边，左乘以，得到投资者投资于风险资产的投资组合向量为。从而投资者投资于风险资产的投资组合权重等于.由于方程右边含有投资者的值函数和财富，所以投资者投资于风险资产的投资组合权重与其偏好和财富有关。但是，投资者投资在任意两个风险资产和之上的投资组合权重之比为.方程右边不含有投资者的偏好和财富，是一个与偏好和财富无关的常数，该常数只与各个风险资产的
14、期望收益率，无风险利率，和各个风险资产收益率之间的协方差有关。因此，虽然不同的投资者具有不同的偏好结构和财富水平，从而投资于风险资产的 (绝对) 投资组合不同，但是投资者投资在不同风险资产之间的 (相对) 投资组合却是相同的。这就是两基金分离 研究两基金分离定理成立的角度有两个。第一个角度是从风险资产的价格或收益率所服从的分布函数出发。如Ross (1978)，在静态投资模型中，证明存在两基金分离的充分条件是风险资产的收益率服从联合正态分布。另一个角度是从投资者的效用函数出发。Cass和Stiglitz (1970) 证明，如果投资者的效用函数是HARA型的，那么不管风险资产收益率的分布函数是
15、否服从正态分布，都有两基金货币分离。而在连续时间动态模型中，Merton (1971) 证明了如果风险资产的价格服从几何布朗运动，那么两基金分离定理成立。如果存在两基金分离现象，虽然资产市场有多种风险资产，但是对每一个投资者而言，就好像只存在两个基金，其中一个是风险基金，另一个是无风险基金。无风险基金投资于无风险资产; 风险基金则投资于全部风险资产，而决不投资于无风险资产。从而，复杂的资产市场可以简化为: 存在一种无风险资产和一种风险资产。且该风险资产由所有风险资产复合而成，相互权重与投资者的财富，偏好无关，而只与风险资产的分布性质有关。因此，使用两基金分离定理可以极大地简化消费投资组合模型，从而使得模型求解变得更加容易。风险基金可以理解为，所有投资者均只投资于某个复合风险资产，该复合风险资产投资于各风险资产的投资组合为列向量，其中.使用矩阵记号，风险基金投资于各个风险资产之上的投资组合等于。四、风险基金的动态本节证明风险基金的价格服从几何布朗运动，并给出风险基金的期望收益率和波动率之间的关系。记风险基金的价格为，依据风险基金的定义，风险基金的价格服从如下随机过程.下面
