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1、汪晓勤 华东师范大学教师教育学院 数学史融入中学数学教学的实践与案例 杭州 2017 04 27 数学史融入中学数学教学的实践与案例 背景概念与思想公式与定理问题与求解结语 如何在数学教学中体现 立德树人 的根本任务 如何实施 数学学科德育 日益受到人们的关注 国际上 数学核心素养的内涵涉及知识 能力 思维 情 感 而国内目前的数学核心素养框架中并未涉及数学情 感 数学史与数学教育之间的关系 HPM 是今日数学教育 领域的热门课题 数学史融入数学教学的成效在实践中得到了检验 越来 越多的中学一线教师对HPM产生浓厚兴趣 如何设计 实施 评价HPM课例 HPM视角下的数学教 学实践是否可以促进教
2、师的专业发展 背 景 为什么要将数学史融入数学教学 融入什么 如何融入 背 景 数学史料 人物事件 概念术语 数学问题 公式定理 学科思想 工具符号 选材原则 趣味性 可学性 科学性 有效性 新颖性 运用方式 附加式 复制式 顺应式 重构式 效果评价 知识之谐 方法之美 探究之乐 能力之助 文化之魅 德育之效 背 景 教师专业发 展 信 念 知 识 能 力 教学取向的数学知识 MKT 的构成 背 景 HPM课例的设计 实施和评价 数学史融入中学数学教学的实践与案例 背景概念与思想公式与定理问题与求解结语 u教学设计 引入 古埃及一元一次方程问题 探究 古希腊丢番图问题的求解 形成 用字母表示任
3、意数或一类数 巩固 字母表示数的应用 小结 字母表示数的意义 案例1 用字母表示数 案例案例1 1 用字母表示数用字母表示数 案例1 用字母表示数 问题1 一个量 加上它的2 3 它的1 2和它的1 7 等于33 求该量 案例1 用字母表示数 问题2 已知两数的和与差 你能 求出这两个数吗 公元前1700年16世纪公元3世纪 古巴比伦人 修辞代数 用文字来表达 一个方程 丢番图 缩略代数 用字母表示未 知数 符号代数 用字母表示任 意数 韦 达 案例1 用字母表示数 案例1 用字母表示数 问题3 搭5个正方形 需要几根火柴棍 搭任意多个 正方形呢 44 1 34 2 34 3 3 生 任意多个
4、正方形所需火柴棍数 4 正方形个数 1 3 案例1 用字母表示数 知识之谐 经历从字母表示未知数到字母 表示任意数的自然过程 探究之乐 积累数学活动经验 文化之魅 字母表示数的历史 德育之效 数学思想发展的曲折与艰辛 学 生教 师 内容与课程知识 KCC 字母表示数的历史 内容与学生知识 KCS 从字母表示未知数到字母表 示任意数的困难 内容与教学知识 KCT 借鉴代数学的历史来设计教 学 太上感应篇 入重 出轻 的故事 案例2 反比例函数 引入 案例案例2 2 反比例函数反比例函数 案例2 反比例函数 数据a cm n g b cm m g 第1次8100450 第2次810012150 第
5、3次810016200 a和n不变 b和m之间的正比例关系 新课探究 案例2 反比例函数 a和m不变 b和n之间的反比例关系 数据a cm m g b cm n g 第1次81001650 第2次81008100 第3次81004200 总结 当n增加时 b却减少 b随 n的增加而减小 且满足bn am 非零常数 b与n成反比例 案例2 反比例函数 定义 设b y n x 则y k x 形如y k x k为常数 且k 0 的函数成为反比例函数 其中x是自变量 y是x的函数 k 是比例系数 概念形成 辨析 1 对 形如 怎样理解 2 怎样理解 k为常数 且k 0 3 反比例函数与前面所学的什么知
6、识有联系 4 为什么成为反比例函数 u教学设计 引入 笛卡儿的故事 探究 如何表示天花板上的苍蝇的位置 形成 直角坐标的概念 巩固 在直角坐标系中求点的坐标 小结 直角坐标系的意义 案例 3 直角坐标系 案例案例3 3 直角坐标系直角坐标系 从那天起 当它们臆测 又一个真理揭开了面容 在地狱般的圈栏 暴发出一阵阵哀鸣 案例 3 直角坐标系 缪斯女神把这光芒馈赠 毕达哥拉斯要把祭礼行 百牛烤熟又切片 难表心中感激之情 难阻真理发现者的暴行 毕氏让它们永不得安宁 它们瑟瑟颤抖着 绝望地闭上了眼睛 复习旧知 数轴的三要素 笛卡儿的故事 问题1 苍蝇向右爬5cm 如何 表示它的位置 问题2 苍蝇向左爬
7、5cm 如何 表示它的位置 案例 3 直角坐标系 问题3 苍蝇向上爬5cm 如何表示它的位置 问题4 苍蝇向右爬3cm 再向上5cm 如何表示它的 位置 S 用 3表示 T 那如果苍蝇向上爬了6cm 7cm 又如何表示它的位 置呢 S 还是 3 T 可是 苍蝇的位置明明 不同啊 案例 3 直角坐标系 问题4 苍蝇向右爬3cm 再向上5cm 如何表示它的位置 案例 3 直角坐标系 S 用8来表示 T 那么如果苍蝇先向右爬4cm 再向上爬4cm 那你怎么表示 S 还是8 T 不同的位置 但是你却用同 一个数来表示 同学们觉得这样 可行吗 S 不可行 问题4 苍蝇向右爬3cm 再向上5cm 如何表示
8、它的位置 案例 3 直角坐标系 S 用 5垂直于3 表示 T 那如果苍蝇向左爬了3cm 再向上爬了5cm呢 S 5垂直于 3 T 这位同学很棒 用两个数来表示点的位置 那么 能不能再简练一点呢 S 5 3 S 5 3 S 5 3 问题4 苍蝇向右爬3cm 再向上5cm 如何表示它的位置 T 还有其他表示方法吗 有两组学生开始用量角器与直尺 S7 北偏东50 T T 我们将5垂直于3表示为 3 5 案例 3 直角坐标系 案例 3 直角坐标系 知识之谐 经历坐标概念的自然发生过程 探究之乐 体验成功的快乐 积累数学活 动经验 文化之魅 数学与现实生活之间的联系 德育之效 兴趣 自信心 亲近数学 学
9、 生教 师 内容与课程知识 KCC 直角坐标系的历史 内容与学生知识 KCS 从一维到二维的困境 内容与教学知识 KCT 借鉴坐标概念的历史来设计 教学 水平内容知识 HCK 直角坐标系与数轴的联系 案例4 函数的概念 函数概念的历史 案例案例4 4 函数的概念函数的概念 总之有自变量 因 变量且一个 x 有且 仅有一个 y 的值与 其对应的式子 案例4 函数的概念 师 关于函数概念 同学们并不陌生 现在 请大家回 忆一下 初中数学中的函数是怎么定义的 引入 L Euler 1707 1783 案例4 函数的概念 欧拉的函数定义 1748 一个变量的函数是由该变量 和一些数或常量以任何方式 组
10、成的解析式 无穷分析引论 德摩根 代数学 的定义 1837 A de Morgan 1806 1871 案例4 函数的概念 Any expression which contains x in any way is called a function of x 李善兰的译文 凡式中含天 为天之函数 这便是中文 函数 名称的由来 案例4 函数的概念 例1 课本 表1列出了男子一百米栏项目从1900年开始的世界纪录 创立的时间和成就 请思考 1 统计表中有哪几个变量 是什么 2 当时间年份确定时 相应的世界纪录成绩是否确定 能写出成 绩随时间变化的关系式吗 年份190019081920193619
11、59197319932006 成绩15 41514 814 213 213 112 9112 88 男子100米栏世界纪录统计表 案例4 函数的概念 概念生成 从 解析式 到 变量依赖关系 案例4 函数的概念 问题 下图为某天沪深300指数随时刻变化的图像 该 图像体现了指数和时刻之间的关系 那么这两个变量之 间的关系能否用一个解析式来刻画呢 如果某个量依赖于另一个量 当后面这个量变化时 前面这 个量也随之变化 则前面这个 量称为后面这个量的函数 微分学基础 L Euler 1707 1783 案例4 函数的概念 欧拉的新定义 1755 案例4 函数的概念 例2 y 0 x R 是不是一个函数
12、 说明理由 师 初中阶段我们学习了具体的一次 二次函数等 在这些函数中 变量 y 与 x 之间就有明确的依赖关系 但是 利用 依赖关系 来刻画函数 是否尽善尽美了 呢 从 变量依赖关系 到 变量对应关系 课前的问卷调查表明 161人中有 65人认为它不是函数关系 占比 40 37 理由是 y 不随 x 的变化而变化 没有 y 与 x 的关系式 x 与 y 之间没有关系 y没有依赖 x 的变化而改变 案例4 函数的概念 例2 y 0 x R 是不是一个函数 说明理由 师 那我们该怎样描述这两个变量之间的关系呢 重 新审视函数 y 0 x R 无论 怎样变化 的值都是 以不变应万变 此处的关键词
13、应 即为 对应 之意 也 就是对每一个 的值 都有 的值0与之对应 我们能否 从这样一个新的视角来理解前面遇到的例子呢 生 男子100米栏世界纪录表中 对于每一个出现的年 份 都能找到一个世界纪录与之对应 而在沪深指数 图像中 每一个时刻都有一个确定的股票指数与之对 应 案例4 函数的概念 师 理解得很到位 那么对于我们熟悉的函数y 2x2 呢 生 对每一个x的值 都有y的值与之对应 师 我们还发现 对于变量x的每一个值 y都有唯一 的值与之对应 说明我们同样可以从对应的角度来理 解曾经学习过的函数 通过以上实例的分析 同学们 能否提炼并概括一下这些关系的共同特征 生 以上函数关系中 对变量
14、x 的每一个值 变量 y 都有唯一确定的值与之对应 案例4 函数的概念 师 那么 能不能用集合的语言和对应关系来描述初 中所学的函数概念呢 生 如果在某个变化的过程中有两个变量 x 和 y 对 于某个实数集合 D 内的每一个确定的 x y 都有唯一 确定的值和它对应 那么 y 就是 x 的函数 x 叫做自 变量 x 的取值范围叫做函数的定义域 和 x 对应的 y 的值叫做函数值 师 非常好 这正是德国数学家狄利克雷于1837年提 出的函数定义 案例4 函数的概念 狄利克雷的现代定义 1837 设 a b 是两个确定的值 x 是可取 a b 之间一切值的变 量 如果对于每一个 x 有 唯一有限的
15、 y 值与它对应 当 x连续变化时 y 也随之变化 那么 y 叫做 x 的函数 L Dirichlet 1805 1859 案例4 函数的概念 案例4 函数的概念 师 反观刚才分析过的这些函数 其对应关系可以用 一个图表 一个图像或者一个解析式来呈现 我们把 它统称为 对应法则 例如表1中 14 2与1936对应 1973有唯一的13 1与之对应 这个表格就是一个对 应法则 那么同学们能否从这个角度来分析其他例子 的对应关系呢 生 图2的沪指变化图像就是一种对应法则 生 函数 y 2x2 这个解析式就是一种对应法则 案例4 函数的概念 案例5 对数的概念 计算 案例案例5 5 对数的概念对数的
16、概念 案例5 对数的概念 x12345678910 2481632641282565121024 x1112131415161718 204840968192163843276865536131072262144 x192021222324 524288104857620971524194304838860816777216 x2526272829 3355443267108864134217728268435456536870912 x30313233 1073741824214748364842949672968589934592 mn m n M N MN 案例5 对数的概念 299792 45831536000 光在真空中的速度 千米 秒 一年的秒数 1光年 一个天文单位 299792458 31536 1798754748 899377374 1498962290 299792458 899377374 9454254955488 案例5 对数的概念 计算 案例5 对数的概念 x1112131415161718 20484096819216384327686553613107
