《数学新学案同步必修一北师大课件：第二章 函数3（二）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步必修一北师大课件：第二章 函数3（二）（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 3 函数的单调性 二 第二章 函 数 学习目标 1 理解函数的最大 小 值的概念及其几何意义 2 会借助单调性求最值 3 掌握求二次函数在闭区间上的最值 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 函数的最大 小 值 思考 在下图表示的函数中 最大的函数值和最小的函数值分别是多 少 1为什么不是最小值 答案 最大的函数值为4 最小的函数值为2 1没有A中的元素与之对应 不是函数值 梳理 对于函数y f x 其定义域为D 如果存在x0 D f x M 使 得对于任意的x D 都有f x M 那么 我们称M是函数y f x 的最 大值 即当x x0时 f x0 是函数y f x
2、的最大值 记作ymax f x0 知识点二 函数的最大 小 值的几何意义 思考 函数y x2 x 1 1 的图像如图所示 试指出函数的最大值 最小值和相应的x的值 答案 x 1时 y有最大值1 对应的点是图像中的最高点 x 0时 y有最小值0 对应的点为图像中的最低点 梳理 一般地 函数最大值对应图像中的最高点 最小值对应图像中 的最低点 它们不一定只有一个 思考辨析 判断正误 1 因为f x x2 1 0恒成立 所以f x 的最小值为0 2 f x x 0 的最小值为0 3 函数f x 取最大值时 对应的x可能有无限多个 4 如果f x 的最大值 最小值分别为M m 则f x 的值域为 m
3、M 题型探究 类型一 借助单调性求最值 解答 解 设x1 x2是区间 0 上的任意两个实数 且x1 x2 当0 x10 x1x2 1 0 f x1 f x2 0 f x1 f x2 f x 在 0 1 上递增 当1 x10 x1x2 1 0 f x1 f x2 0 f x1 f x2 f x 在 1 上递减 反思与感悟 1 若函数y f x 在区间 a b 上递增 则f x 的最大值为 f b 最小值为f a 2 若函数y f x 在区间 a b 上递减 则f x 的最大值为f a 最小值为 f b 3 若函数y f x 有多个单调区间 那就先求出各区间上的最值 再从 各区间的最值中决出最大
4、小 函数的最大 小 值是整个值域范围内最大 小 的 4 如果函数定义域为开区间 则不但要考虑函数在该区间上的单调性 还要考虑端点处的函数值或者发展趋势 解答 解 设x1 x2是区间 2 6 上的任意两个实数 且x1 x2 由2 x10 x1 1 x2 1 0 于是f x1 f x2 0 即f x1 f x2 即在x 2时取得最大值 最大值是2 类型二 求二次函数的最值 例2 1 已知函数f x x2 2x 3 若x 0 2 求函数f x 的最值 解答 解 函数f x x2 2x 3开口向上 对称轴x 1 f x 在 0 1 上递减 在 1 2 上递增 且f 0 f 2 f x max f 0
5、f 2 3 f x min f 1 4 2 已知函数f x x2 2x 3 若x t t 2 求函数f x 的最值 解答 解 对称轴x 1 当1 t 2即t 1时 f x max f t t2 2t 3 f x min f t 2 t2 2t 3 f x max f t t2 2t 3 f x min f 1 4 f x max f t 2 t2 2t 3 f x min f 1 4 当11时 f x max f t 2 t2 2t 3 f x min f t t2 2t 3 设函数最大值为g t 最小值为 t 则有 解答 由 1 知y t2 2t 3 t 0 在 0 1 上递减 在 1 上递
6、增 当t 1即x 1时 f x min 4 无最大值 反思与感悟 1 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口 对 称轴有关 求解时要注意这两个因素 2 图像直观 便于分析 理解 配方法说理更严谨 一般用于解答题 跟踪训练2 1 已知函数f x x4 2x2 3 求函数f x 的最值 解答 解 设x2 t t 0 则x4 2x2 3 t2 2t 3 y t2 2t 3 t 0 在 0 1 上递减 在 1 上递增 当t 1即x 1时 f x min 4 无最大值 2 求二次函数f x x2 2ax 2在 2 4 上的最小值 解 函数图像的对称轴是x a 当a4时 f x 在 2 4 上是减函数
7、 f x min f 4 18 8a 当2 a 4时 f x min f a 2 a2 解答 3 求函数f x x2 4x 4在闭区间 t t 1 t R 上的最小值 解 f x x2 4x 4 x 2 2 8 设f x 在 t t 1 上的最小值为g t 当t 2时 f x 在 t t 1 上是增函数 g t f t t2 4t 4 当t 2 t 1 即1 t 2时 g t f 2 8 当t 1 2即t0对任意x 0 恒成立 求实数a的取值范围 解答 类型四 函数最值的应用 解 方法一 令y x2 x a 方法二 x2 x a 0可化为a x2 x 要使a x2 x对任意x 0 恒成立 只需
8、a x2 x max 引申探究 解答 反思与感悟 恒成立的不等式问题 任意x D f x a恒成立 一般转 化为最值问题 f x min a来解决 任意x D f x a恒成立 f x max a 跟踪训练4 已知ax2 x 1对任意x 0 1 恒成立 求实数a的取值范 围 解答 a 0 a的取值范围是 0 达标检测 答案 12345 2 函数f x 在 1 上 A 有最大值无最小值 B 有最小值无最大值 C 有最大值也有最小值 D 无最大值也无最小值 12345 答案 3 函数f x x2 x 2 1 的最大值 最小值分别为 A 4 1 B 4 0 C 1 0 D 以上都不对 12345 答
9、案 12345 答案 A 10 6 B 10 8 C 8 6 D 以上都不对 12345 答案 1 函数的最值与值域 单调性之间的联系 1 对一个函数来说 其值域是确定的 但它不一定有最值 如函数y 如果有最值 则最值一定是值域中的一个元素 2 若函数f x 在闭区间 a b 上单调 则f x 的最值必在区间端点处取 得 即最大值是f a 或f b 最小值是f b 或f a 2 二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题 一般要先作出y f x 的草图 然后根据图像的增减性进行研究 特别要注意二次函数的对称轴与所 给区间的位置关系 它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要 依据 并且最大 小 值不一定在顶点处取得 规律与方法
